242 Sophus Lie. 



eo ipso alle Gruppen von Beriihrungs-Transformationen erhal- 

 ten. Es ist indess möglich durch apriorische Betrachtungen, 

 die an und für sich ein wichtiges Princip bilden, mehrere un- 

 ter jenen Möglichkeiten von vorn auszuschliessen. Dies soll 

 jetzt gezeigt werden. 



3. Bertihrungs-Transformation nenne ich, wie früher ge- 

 sagt, jede Transformation zwischen z, x, y, die die Gleichung 



dz — ydæ = 



invariant lässt. Bezeichne ich nun eine beliebige inf. Berüh- 

 rungs-Transformation mit 



Bp + 7/q + ^r, ' 



so sind 5, V? <? ^^ allgemeinster Weise bestimmt durch die 

 Gleichungen 



_ dWiæyz) 



dy 



> 



"^^ dx ^ dz' 



^=- "W^y , , 



dW 



dy 



wo W eine arbiträre Funktion von x y z bezeichnet. Ich 

 kann immer voraussetzen, dass W in der Umgebung von 

 x^y " z = ^ synektisch ist ; alsdann ist dasselbe der Fall mit 

 B,, rj und <§. Es ist dabei klar, dass die. Glieder nullter und 

 erster Ordnung der Grössen 5, t) und ^ nur von den Gliedern 

 nullter, erster und zweiter Ordnung der Grösse W abhängen. 

 Sei 

 W=A + Bæ + Cy^-Dz + Ex^ + Fxy + Gy^ + Hxz + Kyz + Lz^, 



und lass mich der Reihe nach annehmen, dass eine einzige 

 unter den Grössen A,B.,.L von Null verschieden ist;- ich 

 werde die entsprechende Berührungs-Transformation bestim- 

 men. 



Setze ich W= 1, so erhalte ich die Transforpaation r. 



