Theorie der Transformations-Gruppen. 



245 



{XQ, TP) = XP- YQ, {XQ, XP- TQ) = -2 XQ, {XQ, Z7) = 



{YP, XP- YQ) = 2 YP,{YP, ü) = 0, (XP - YQ, ü) = 0. 



Bezeichne ich nun die drei Transformationen^ XQ, YP,XP— YQ 

 mit dem gemeinsamen Symbole T, so ist klar, dass drei Re- 

 lationen der Form 



(B,T) = 2aiTi + ß U (2) ' 



bestehen. Ich behaupte, dass die drei Grössen ß gleich Null 

 sind. Dies ergiebt sich, wenn man in der Jacobischen Iden- 

 tität 



i{B,B)C) + i{B,C)B) + ({C,E)B) = 0=iB,B,C) 



statt 5 und C successiv zwei beliebige Grössen T hineinsetzt. 

 Daher erhalten die Gleichungen (2) dieselbe Form wie die ent- 

 sprechenden Gleichungen in § 1. Und also können wir die 

 Transformation B = r + . . derart wählen, dass es kommt 



(i2, XQ) = (B, YP) = (B, XP — YQ) = 0. 



Es bestehen Relationen der Form 



(P^XQj'-Q+ST+XÜ, 



(P,XP- YQ)=^P+ 2T+fxU, 



(P, YP)^ 2T+vU 



(3) I {Q,XQ)= 2T+aU, 



(Q,XP - YQ)^-Q+2T+ßü, 



(Q,YP)-P+2T+yU. ' 



Wir führen Q + A, Z7 als neue q + . ., und P+ y ü als neue 

 p + .. ein. In dieser Weise erkennen wir, dass wir 



setzen können. Wir bilden die Gleichung 



((P, XQ)XP- YQ) - 2 {Xq, P) + ({XP - YQ, P) XQ) - 0, 



woraus 



(Ç, XP- YQ) + (P, XQ).^ ^ T= 0^ 



