Theorie der Transformations-Gruppen. 247 



Es steht zurück die drei Ausdrücke (P, Q) {P, B) (Q, R) 

 zu berechnen. Sei 



.{PR) = AP+BQ+CR+DXQ + E {XP- YQ) : F YP+ G U. 



Es ist ■ 



. ((PR) XP - YQi) - {PR) = 



woraus 5 = C= i? = -E= J'- (? = und 



{PR) -AP. 

 Ferner ist , 



({PR) U)—2{RP) + {PR) = 0, 



woraus A^O und 



{PR) = 0. 

 Dementsprechend ist auch 



{QR) = 0. ,.' 



Sei 

 {PQ) ^aP + bQ+ cR + dXQ + e{XP — YQ)+f YP + gü. 

 Es ist 



((PQ)rp) = o,((pç)X0 = o, 



woraus a=6 = (i = «=/=0 und 



{PQ)^cR + gü. 

 Ferner ist 



{{PQyü)-{QP)^iPQ)-0 

 oder 



— 2GR + 2{cR + gU)'0 

 woraus ^ = und 



{PQ) = cR: 



6. Ist nun c = 0, so bilden die linearen partiellen Differen- 

 tial-Gleichungen P = 0, Q = ein vollständiges System, das 

 alle Transformationen der Gruppe gestattet. Und diesen 

 Fall können wir ausschliessen. Sei daher c^O, und dabei 

 .können wir ohne Beschränckung c - 1 annehmen. . Alsdann 

 bilden die Transformationen 



