250 Sophus Lie. 



mit z^q + . . wie mit z^p + . . in Involution liegen, und hätte 

 somit die Form ' 



Az^q + Bz^p + .. 



und wäre daher keine neue Transformation. 



Ist 5 > 2, so bilden die vier Transformationen 



z^q + . .,z^p + . .,z'~^q+ ..,z^-^p + . . 



die eo ipso der Gruppe angehören, ein Involutions System. 

 Wären dann drei unter den Gleichungen 



z^q + ..^0,z^p + .. = 0,z'-^q + ... = 0,^^-'p + .. = 



unabhängig, so bestände eine Relation 



A {z'q + . ) + B{z'p + ..) + C{z'-^q + ..) + D (z'-^p + . .) = 



mit Constanten Coefficienten, was offenbar nicht der Fall ist. 

 Also schliessen wir, dass z^~^q + .. und ^^ - ^p + . sich folgen- 

 dermassen 



f{ocyz) {fq + . .) ^q) {æyz) (z'p + . .) 



ausdrücken lassen. Aber hieraus folgt sogleich, dass die li- 

 nearen partiellen Differential-Gleichungen 



z^q + . . = z^p + . . = 



ein vollständiges System bilden, welches alle Transformatio- 

 nen der Gruppe gestattet. Wir können daher den Fall s > 2 

 ausschliessen. 



Sei 8.= 2, und 



(zp + ..,zq + . .] = a (z^p ■!-..)+ ß{z^q + . .) 



Wir bilden die Gleichung 



((zp + ..,zq + ..)xq)^0 

 oder 



ff(/^g + ..) = 



woraus folgt, dass a = ist. Dementsprechend ist fuch ß = 0, 

 sodass der Fall s = 2 sich in derselben Weise wie der Fall 

 s>2 als unmöglich ergiebt. 



