254 Sophus Lie. 



höherer Ordnung auftreten können. Eine solche Transforma- 

 tion hat eo ipso die Form 



wäre hier 0=0, so erkennt man wie im vorangehenden Pa- 

 ragraphen, dass die Gruppe die beiden Transformationen 



enthielte. Gäbe es keine weitere Transformation s^'^'^ Ordnung, 

 so wurden wir wie im vorangehenden Paragraphen zu Con- 

 tradictio geführt. Lass uns daher annehmen, dass es weitere 

 Transformationen s^""" Ordnung giebt. Eine solche Transfor- 

 mation muss sowohl mit z^q + . ., wie mit z^p + . . in Involu- 

 tion liegen, und besitzt daher, wie man leicht findet, die 

 Form 



s z^~~^a;p + s z^~^yq + z^r + . . 



Alsdann aber folgt, indem man die Transformation r + .. 

 (s - l)-mal anwendet, dass die Gruppe eine Transformation 

 der Form 



œp + yq + zr + . . 



enthält, was indess von vorn ausgeschlossen ist. 

 Also muss O^O sein. Sei z. B. O- 1 und 



H=èp + ?jq + z^r + .. 

 Es ist 

 . (zq + .,,H)^OAzp+--,S)-0,{æp-yq + ..,H) = 0, 



woraus 



H z^-'^xp + z^-^y q + z^r + . . 



Eine {s — l)-malige Anwendung von R giebt die Transforma- 

 tion 



wp + yq + s zr + , ., 

 sodass 5-2 und 



H= zxp + zyq + z^r + . . 



sein muss. Weitere Transformationen *'" Ordnung giebt es 



