258 Sophus Lie. 



Bildet man darnach die Gleichungen (ZQ, T, U) = 0^ 

 (ZP, T, U) = 0, so kommt 



(ZQ, XQ) =^ 0, (ZQ, X? — YQ) = — ZQ, (ZQ, YP) = ZP 



(ZP, XQ) = ZQ, (ZP, XP - YQ) = ZP, (ZP, YP) = 0. 



Endlich besteht eine Gleichung der Form 



(ZQ, ZP) = £ F, 



wo £ von Null verschieden sein kann. 

 Es bestehen Gleichungen der Form 



{R, F) = Z7+ a F, 



{B, ü) ^2E+ 2S + bU+cV. 



Führt man hier R + XÜ+ /j,V als neue B ein, so kann man 

 a = c = setzen. Und wegen {B, ZI, V) = 0, ist zugleich b = 0, 

 und also wird 



(BV)= Ü,(BÜ) = 2B+2S. 



Indem man darnach die drei Gleichungen {B, T-,, T^) = bil- 

 det, kommt 



{R, XQ) = ^.S', {B X? - YQ) = 2S, (B, YP) = 2S 



oder durch zweckmässigen Wahl von B: 



(B, XQ) = (B,X? — YQ) = (B, YP) = 0. 



Die Gleichungen {B, U, XQ) = (B, U, YP) = geben 



(B, U) = 2B. 



Wir setzen 



{B, ZQ) = Q, {B, ZP) = 0, 

 und finden so 



(Q, XQ) = 0, (Q, XP - YQ) = - Q, (Q, YP) = P, 



(P, XQ) = Q, (P, XP - YQ) = P, (P, YQ) = 0, 

 (P, U) = P, (Q, U) = Q, (Q, V) = ZQ, (PV) = ZP. 

 Es bestehen Gleichungen der Form 



