260 Sophus Lie. 



Hiermit sind alle Relationen bestimmt. Ist £ = 0, so bil- 

 den die linearen partiellen Differential-Gleichungen P = 0, Q = 

 ein invariantes vollständiges System. Diesen Fall können 

 wir daher ausschliessen. Ist £ J o, so können wir e = — 1 

 setzen. Alsdannn bilden die sieben Transformationen 



P,Q,R,XQ,XP-YQ,YP,Ü 

 eine Untergruppe, die nach dem Vorangehenden die Form 

 p,q + æ r, r,æq + ^ æ^r, xp — yq, yp, + ^ y^^r, æp + yq + 2zr 

 annehmen kann. Die Transformation 



ZQ = Sp + riq + ë,r 

 wird vermöge der Relationen 



(P, ZQ) = 1 U + 1 (XP - YQ) = æp + zr, 

 (R,ZQ) = Q = ? + Æ?r, 

 (Q,ZC) = XQ = .rg' + J-Æ?V 

 bestimmt durch die JRelationen 



de _ dS _ ^ dB, ^^ _ A 



dx ^ dz ' dy dz ' 



^ = ^ - 1 ^ + cc^-^ 

 da; ^ dz ' dy dz 



d^ d^ d^ d^ er _ 1 2 . 



dæ dz dy ds 



woraus 



Dabei zeigt die Gleichung {œp + yq + 2sr = ZQ) = ZQ, dass 

 A = B=G^O, und 



ZQ,^ ^x-p •{■ sq + xär. 



Die Gleichung (ZQ, YP) = ZP giebt 



ZP '={s — yx) p — ^y"^ — 2 ^2/^^' 

 Endlich giebt die Gleichung (ZQ, ZP) = — F 



