344 Sophus Lie. 



und 



die Schnittcurven der Developpable D mit den Ebenen y = 

 und æ = 0. Ich kann ohne ßeschränckung, annehmen, dass 

 in denjenigen Punkten der ersten und dritten Curve, die dem- 

 selben Werthe von t entsprechen, die Tangenten parallel sind^ 

 und ebenso, dass in denjenigen Punkten der zweiten und 

 vierten Curve, die demselben Werthe von r entsprechen, die 

 Tangenten parallel sind. 



Dies vorausgesetzt bestimmen die Gleichungen 



oc = \{A^t + A^t) + A^t— A^r 



y = i{BQ.t + B^r) + B,t-B.,t 



immer eine in die Developpable D eingeschriebene algebrai- 

 sche Integralfläche und in dieser Weise werden alle derartigen 

 Flächen erhalten.^) 



Die Flächen z = F(a;) + ^ (y) sind dadurch charakterisirt, 

 dass sie in zweifacher Weise durch Translationsbewegung 

 einer ebenen Curve erzeugt werden können. Seien o die Ord- 

 nung, c die Classe, t die Zahl der parallelen Tangenten einer 

 Curve der einen Schaar; und seien aa, k und r die entspre- 

 chenden Zahlen einer Curve der zweiten Schaar. Alsdann 

 ist die Ordnung der Fläche nicht grösser als oca, ihre Classe 

 nicht grösser als ck und jedenfalls so gross wie der gross- 

 ten unter den Zahlen tk und tc. Im jeden einzelnen Falle 

 ist es leicht die Ordnung der Fläche genau zu bestimmen. 



•) Man erhält eine bemerkenswerthe Ausdehnung der Theorien des Textes, 



indem man erinnert, dass s = durch oü algebraische Berührungs- 

 Transformationen in sich selbst transformirt wird. Unsere Theorien deh- 

 nen sich andererseits eo ipso auf alle partiellen Differentialgleichungen 2. 

 0. mit zwei distinkten und allgemeinen intermediären Integralen aus. 



