Zur Theorie der Flächen constanter Krümmung. 349 



ein Integrabilitätsfaktor der Gleichung Ddu — Cdv=^0, und 

 ebenso ist 



BG - AD 



ein Integrabilitätsfaktor der Gleichung B du — Cdv = 0. 



2. Wir werden das Vorangehende auf den einfachen 

 Fall, dass u und v die Grössen æy eines Cartesischen Coor- 

 dinatensystems æ y z sind, anwenden. 



Die Differentialgleichung der Haupttangentencurven 



r dæ^^ + 2s dæ dy + t dy^ = 



zerlegt sich für eine Fläche mit constantem Krümmungsmaasse, 

 das heisst für eine Integralfläche der Gleichung 



s^ — rt = ^2 (1 + p2 + ff {K= Const.) 



in die beiden Faktoren 



tdy + (s ± ^(1 +p2 ^ q')) dx=^0 



oder, wenn wir K {\ + p'^ + q^) ^^ co setzen: 



t dy + (s dz oi)) da} . 



Andererseits drückt das Bogenelement sich folgendermassen 

 aus 



ds^ = da?^ + dy^ + dz'^ -- dx^ + dy^ + (pdx + qdyf 

 oder 



ds^ = (1 + p^) dx^ + 2pq dec dy +{\ + q'^)dy^. 



In den früheren Formeln müssen wir daher 



Ä=t, B=- (s + œ), C^t, D=—{s — œ) 



E^{\+p^), F^pq, 6?-(l+r) 



setzen. Also kommt 



^ = (1 +p^) t^ -- 2pq t (.9 + co) + (\+ q^) (s + Gof 



^1 - (1 ^p") f — 2pq t{s- œ) + (l+ q^) (s — cof. 



Die Differentialgleichung der Haupttangentencurven einer 

 Fläche mit constantem Krümmungsmaasse 



