350 Sophus Lie. 



t dî/ + (s dtz co) dæ ^ (co = K {1 + p'^ + q^)) 



wird daher integrahel durch Multiplication mit dem Integrahi- 

 litätsfaktor 



}- 1 / (1 + »2) «2 _ 2pq t {s z^ GO) + il + q^) (s rp œ)\ 



IGD '' 



Die Richtigkeit dieses Satzes kann übrigens auch leicht di- 

 rekt durch elementare Rechnungen verificirt werden. 



§2. 



BestimimiTig der Krtiminuiigsliiiien einer jeden Fläche 

 constanter Rrümmnng. 



3. Benutzt man wie früher die bekannten Gaussischen 

 Bezeichnungen, so werden die Krtimmungslinien einer Fläche 

 bekanntlich^) bestimmt durch die Gleichung 



{Edu^ + Fdv^){D'du^ + D"dv^)-{Fdu^ + Gdv^)(Ddu^ + n'dv^)^0. 



Soll nun das Krümmungsmaas constant sein und lässt man 

 dabei u = Const, und v = Const, die Gleichungen der beiden 

 Schaaren Haupttangentencurven sein, so kann man nach En- 

 neper setzen: 



^= G^ 1, i) = 0, Z>"=0 



(die beiden letzten Gleichungen sagen ja eben, dass die Oscu- 

 lationsebenen der Curven u = Const, und v = Const, mit der 

 betreffenden Tangentenebeue zusammenfallen). Also erhält 

 die Differentialgleichung der beiden Schaaren Krümmungsli- 

 nien die einfache Form 



du^^ — dv^^ = 

 woraus 



w^ ± z;^ = Const. 



hervorgeht. Und wenn wir die im vorangehenden Paragraph 



') Man vergleiche z B. Salmon-Fiedler Geometrie des Raumes, zweiter 

 Theil, pg. 198—199 Anmerkung; erste Ausgabe. 



