Zur Theorie der Flächen constanter Krümmung. 357 



I. Der Torsionsradius einer Haupttangentencurve ist in 

 jedem Punkte gleich dem Krtimmungsmaasse der Fläche in 

 betreffenden Punkte 



IL Auf einer Fläche constanter Krümmung haben die 

 Haupttangentencurven constanten Torsionsradius. 



Und in der that sind die Gleichungen (1), wenn man 

 die Grösse K als eine Constante betrachtet, eben die bekann- 

 ten Serretschen Formeln einer Curve mit constantem Torsions- 

 radius. 



II. 



Aus dem Vorangehenden fliesst nun fast unmitelbar eine 

 der Form nach neue, Bestimmung derjenigen Fläche constanter 

 Krümmung, deren Haupttangentencurven ein gegebenes sphäri- 

 sches Bild besitzen. Dabei setze ich zunächst voraus, "dass 

 ich a priori weiss, dass es überhaupt eine solche Fläche giebt, 

 die das betreffende sphärische Bild besitzt. Im Schlüsse die- 

 ser Nummer lernen wir sodann, wie man entscheidet, ob eine 

 Fläche constanter Krümmung ein vorgelegtes sphärisches Bild 

 besitzen kann. 



In den Formeln 



p = P(uv), ^ = Q(uv) 

 mögen p und q ihre gewöhnliche Bedeutung als die partiellen 

 Derivirten von z hinsichtlich æ und y besitzen; u und v mö- 

 gen Parameter sein, unter denen u längs der Haupttangenten- 

 curven der einen Schaar, v längs der Haupttangentencurven 

 der zweiten Schaar constanten Werth besitzen. Alsdann be- 

 stimmen die Gleichungen p = P{uv), q = Q{uv) das sphärische 

 Bild der Haupttangentencurven einer Fläche. Giebt es nun 

 Flächen constanter Krümmung, deren Haupttangentencurven 

 dieses sphärisches Bild besitzen, so werden dieselben bestimmt 

 durch die Formeln 



