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Sophus Lie. 



^._^'^dj(^sàdn 



y 



i 



f 



I Kûo du 



t/ Uo 



^ \ dp (uVq) 



s 



1 dq(vu) 

 Kûo dv 



dv 



Koo 



du 

 dp 





, \ dpivu) 



du— \ -^fp -^ — dv 



Kœ dv 



dq. 





J^ J. 



dp 



œ " dv 



(f£-p x.)^^ 



dq 



dv' 



(2) 



wenn K'^ das constante ^Krtimmungsmaas , ta die Grösse 

 1+p'^ + q^, u^^ und Vq Constanten, u und v laufende Para- 

 meter bezeichnen. Man sieht somit, dass es jedenfalls nur co^ 

 congruente und gleichgestellte Flächen constanter Krümmung 

 giebt, die ein gegebenes sphärisches Bild besitzen. 



Es ist übrigens klar, dass die betreffenden Flächen con- 

 stanter Krümmung zugleich durch die Formeln 



07 = 



y 



_ Ç^ 1 dg (vu,) P^ 



1/ Vo &/ VI 



1 d q (uv) 

 Koo du 



1 dp (uv) 

 Koo du 



du 



du 



) (3) 



z = 



Ç 1 



Kgo ^^ dv 



dq. , p^ \ . dp dq 

 P/v^"^'"-} Kœ^^du-P^-^"^'' 



Sl/ Ud 



du 



bestimmt werden. Und andererseits ist einleuchtend, dass 

 wenn die Formeln (2) und (3) dieselbe Fläche darstellen, dass 

 dann diese Fläche immer constantes Krtimmungsmaass besitzt. 

 Soll daher eine Fläche constanter Krümmung das vorgelegte 

 sphärische Bild p = P{uv), g = Q{uv) besitzen, so ist hierzu 

 erforderlich und hinreichend, dass die drei Bedingungsglei 

 chungen 



