362 Sophus Lie. 



Kugel abwickeln. Andererseits kann man das sphärische Bild 

 der Haupttangentencurven auf dieselbe Kugel nehmen. In 

 beiden Fällen erhält man Curvennetze der verlangten Eigen- 

 schaft. Diese Netze stehen dabei insofern in reciproker Be- 

 ziehung wie. entsprechende Winkel supplementäre Werthe 

 haben, während entsprechende Seiten gleich lang sind.^) 



Daher stehen die beiden Flächen constanter Krümmung, 

 deren Haupttangentencurven bei sphärischer Abbildung die 

 beiden besprochenen Curvennetze liefern, in reciproker Bezie- 

 hung. Dabei entsprechen sich sowohl Haupttangentencurven 

 wie Krümmungslinien. Hieraus fliesst nun zunächst der Satz 



Kennt man eine Fläche constanter Krümmung so ist es 

 nachdem die Fläche auf eine Kugel abgewickelt ist, immer mög- 

 lich eine zweite Fläche constanter Krümmung anzugehen. 



Dieser Satz stimmt mit einem soeben von Hazzidakis ge- 

 gebenen Satze, wenn man bemerkt, dass die Abwickelung 

 einer Fläche constanter Krümmung auf eine Kugel immer 

 geleistet werden kann, wenn die geodätischen Curven der 

 Fläche durch einen Punkt bestimmt sind. 



Aber andererseits geben meine vorangehenden Betrach- 

 tungen noch die folgenden Sätze 



Die von Hazzidakis herührende Transformation ist reciprok, 



Es bestehen uehmlich die beiden Relationen 



du du du K- oo'^ \ du du du du r 



und 



rl 



dx dx _ dy dy dz dz\ _ 



■u/dx^ df dz^-ä/dx^^dy^^dz^ >^« '^«' <^^ '^^ ^^^"^ 

 y du du du y dv dv dv 



__J__]dpdp ^ dqdq^idp_dq\ i dp _ dq\\ 



dp- dq- I dp dqY ^ dp^ .dq"', i dp dqV 



^-Tu^-du^\^du-^dv\'^='-dv^^v^\Uv-nv)- 



