Zur Theorie der Flächen constanter Krümmung. 363 



insofern sie zweimal angewandt zu der ursprünglichen Fläche 

 zurückführt. 



Bei dieser Transformation sind sowohl Haupttang enten- 

 curven wie Krümmungslinien invariante Curven. 



Es ist mir nicht gelungen eine allgemeine Methode zur 

 Bestimmung der geodätischen Curven einer Fläche mit con- 

 stantem Krümmungsmaasse zu entwickeln. Dagegen ist es 

 folgendermassen möglich diese Bestimmung auf die Integra- 

 tion der Gleichung ds'^ = zurückzuführen. 



Ist in der That die Gleichung ds"^ = integrirt, so kann 

 das Bogenelement der Fläche auf die Form 



ds^ = e^ dæ dy 



gebracht werden. Und alsdann ist 



d^y dydw /dy\^ dw ^ 



da;^ dædæ \dæ) dy 



die Differentialgleichung der geodätischen Curven.^) Diese 

 Gleichung gestattet (da die Fläche in drei Weisen in sich 

 selbst verschoben werden kann) drei infinitesimale Transfor- 

 mationen B (uü) p + T^ (y) q, die durch die Gleichungen 



dB ^dw dw , , 



dt) ^dw dw ., . 



bestimmt werden. In der ersten Gleichung setzen wir 

 y "= yo = Const. ; und finden darnach aus der linearen Gleichug 



rf5 , i^dw{œyQ) , .dwlævr.) . . ^ 



') Man vergleiche hier und im Folgenden meine „Classification der Flächen 

 nach der Transformationsgruppe ihrer geodätischen Curven." 



