364 Sophus Lie. 



durch Quadratur die Grösse è als Funktion von x und von 

 vier Constanten: yo-, v {Vo)} V iVo) ^^^d der Integrationscon- 

 stante. In entsprechender Weise findet man rj als Funktion 

 von y und vier neuen Constanten. Setzt man die gefundenen 

 Werthe von 5 und tj in die beiden Relationen 



â}^ ^ â/^w ■ d^w dw dS 

 dæ^ dx^ dx dy dx dx 



d^rj -, d'W d'w dw dr/ 



dy^ dx dy dy^ dy dy 



ein, so erhält man fünf Relationen zwischen den acht Con- 

 stanten. In dieser Weise findet man drei unabhängige inf. 

 Transformationen 



B,f^a,{x)p + Vi{y)q, (^ = l,2,3) 



die die Differentialgleichung der geodätischen Curven inva- 

 riant lassen. Man findet daher leicht zwei inf. Transforma- 

 tionen 



^i/=«i BJ+ ß^B,f+y^B,f 



0.,/= a,B^f-\-ß^B,f^y,BJ 

 I 

 die in der Beziehung 



Ci{C^(f))-^C,{C,{f])-C,f 



stehen. Und folglich integrirt man die Gleichung (B) nach 

 meinen Integrationstheorien durch zwei Quadraturen. 



Nach dieser Methode verlangt die Bestimmung der geo- 

 dätischen Curven, nachdem die Gleichung ds^ = integrirt ist, 

 vier Quadraturen. Es ist indess möglich eine einfachere 

 Methode zu entwickeln, wie jetzt gezeigt werden soll. 



Nach Liouville besitzt das Bogenelement ds^ = F{xy) dx dy 

 einer jeden Fläche constanter Krümmung die Form 



^^'^^f^lX-Typ^^^^- 



Daher ist 



