Weitere Untersuchungen über Minimalflächen. 479 



Sind cc y z gewöhnliche Cartesische Coordinaten, so 

 sind die Differentialen dæ^ dy^ dz einerseits Bestimmungsstticke 

 einer Fortschreitungsrichtung; andererseits können sie als ho- 

 mogene Coordinaten eines Punkts der unendlich entfernten 

 Ebene betrachtet werden. Daher bestimmt die quadratische 

 Gleichung 



a doc"^ + h dy' + cdz^ + 2edæ dy + 2/ dæ dz + 2gdydz = (1) 



mit den constanten Coefticienten a,b . . ,g einen Kegelschnitt 

 der unendlich entfernten Ebene. Die Haupttangenten einer 

 Fläche werden bestimmt durch die Gleichung 



rdæ^ + 2sdædy + tdy^ ^0, ' (2) 



in der r, s, t wie gewöhnlich die zweiten Differentialquotien- 

 ten von z hinzichtlich æ \mà. y bezeichnen. Um nun auszu- 

 drücken, dass die Haupttangenten (2) hinsichtlich des Kegel- 

 schnittes (1) conjugirt sind, setzt man in (1) : dz = p dæ + q dy 

 und verlangt darnach, dass die hervorgehende Gleichung 



{a + cp^ + 2 fp) dx'^ ^2 (e + cpq +fq +gp) dædy + (& -H cq^ -»- 2gq) dy^ = 



zu der Gleichung (2) der Haupttangenten in harmonischer 

 Beziehung stehe. Diese Forderung wird bekanntlich ausge- 

 drückt durch die Gleichung 



{h^rcq^-¥2gq)r—2{e-\- cpq+fq + gp) s + {a + cp^ + 2fp) < = 0, (3) 



die eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung dar- 

 stellt. Setzt man insbesondere voraus, dass der vorgelegte 

 Kegelschnitt eben der Kugelkreis ist, dass also 



a = b = c = 1, e=f= g = 



ist, so erhält man die bekannte Differentialgleichung der Mi- 

 nimalflächen. 



Lass uns nun annehmen, dass die Haupttangenten einer 

 Fläche gleichzeitig zu mehreren, etwa drei Kegelschnitten 



«i dæ'^ + hi dy^ + d dz^ + 2^1 dæ dy + 2f\ dæ dz + 2gx dy dz^O 



