480 Sophus Lie. 



conjugirt sind. Alsdann befriedigt unsere Fläche gleichzeitig 

 drei partielle Differentialgleichungen 



= (6i + Ci q^ + 2giq) r—2 (ei + dpq +fiq+ffip) s-\-{(h + Cif + 2fip) 0. 



Ist dabei die Fläche keine Ebene, und daher die Grössen 

 r, s, t nicht sämmtlich gleich' Null, so muss die Determinante 



{h^+c^q' + 2g^q e,^ + c^pq+ f.^q-^ g.^p a^ + c^p' + 2f^p) 



identisch verschwinden. Wir können daher ohne Beschränck- 

 ung annehmen, dass es zwei Constanten À, /^ giebt, welche 

 die sechs Gleichungen 



«3 =■ À a^^ + /,* ag , 



ff 3 '"■^<7i +/^^2 



erfüllen. Unsere drei Kegelschnitte bilden daher einen Büschel. 



Sind andererseits die Haupttangenten einer Fläche con- 

 jugirt hinsichtlich zweier Kegelschnitte Z7= 0, F-- einer 

 Ebene, so steht die Fläche in derselben Beziehung zu allen 

 Kegelschnitten des Büschels U+Å. F=0. Dies geht unmittel- 

 bar aus den vorangehenden Entwickelungen hervor; ist ande- 

 rerseits eine direkte Consequenz des bekanntes Satzes, dass 

 die Kegelschnitte eines Büschels auf einer jeden Gerade eine 

 Involution bestimmen. 



Sind daher die Haupttangenten einer (nicht ebenen) Fläche 

 conjugirt hinsichtlich co^ in einer Ebene gelegener Kegelschnitte, 

 so ist k ^ \. Die betreffenden Kegelschnitte bilden einen Büschel, 

 und haben daher vier gemeinsame Schnittpunkte. Steht anderer- 

 seits eine Fläche in der besprochenen Beziehung zu zwei in einer 

 Ebene gelegenen Kegelschnitten ?7 = 0, F = so steht sie in der- 

 selben Beziehung zu allen Kegelschnitten des Büschels Î7+ A. F = 0. 



Es sind verschiedene Fälle zu berücksichtigen, indem die 

 Kegelschnitte CT+AF^O distinkte oder zusammenfallende 

 Schnittpunkte besitzen können. 



