Weitere Untersuchungen über Minimalflächen. 481 



A) Die Kegelschnitte U + A V = mögen vier distinkte Schnittpunkte 



besitzen. 



Die Gleichung 



{a — h) dæ dy ^- {h — c) dy dz + {c ~ a) dzdæ = (4) 



mit den arbiträren Parametern a — b, b — c, c — a bestimmt 

 unendlich viele in der unendlich entfernten Ebene gelegene 

 Kegelschnitte, die vier distinkte gemeinsame Schnittpunkte 



dæ = dy = 0, dy = dz = 0, dz>= daa = 0, 

 dæ — dy =^ dy — dz = 



besitzen. Und da vier getrennte Punkte einer Ebene, unter 

 denen keine drei auf einer Geraden liegen, immer durch eine 

 lineare Transformation in vier bestimmte solche Punkte über- 

 geführt werden können, so bestimmt die Gleichung (4) den 

 allgemeinsten Büschel Kegelschnitte mit vier getrennten Schnitt- 

 punkten. 



Die allgemeinsten Flächen, deren Haupttangenten in jedem 

 Punkte hinsichtlich aller Kegelschnitte des Büschels (4) con- 

 jugirt sind, werden nach dem Vorangehenden bestimmt durch 

 die Gleichung.^) 



{b — c) qr — (a — b + [c — a) q + (b — c)p) s + (c — a) pt = 0, 

 in der a, b, c arbiträre Constanten bezeichnen. Setzt mau 

 successiv c = a und c = b, so erhält man die beiden partiellen 

 Differentialgleichungen 



qr + (l—p)s-=0,pt + (l — q)s = 0, 

 deren gemeinsame Integralflächen wir bestimmen müssen. 

 Durch Differentiation hinsichtlich æ und y kommt 

 qa + {l-p)ß =0, 



q ß + (l — p) y =5^ — rf, 

 {\~q)ß+py ==s^ — rt, 



(X-q)y + pô =0, 



') Im Texte wird weggesehen von Flächen der Gleichungsform g> (xy) = 0, 

 was keine wesentliche Beschränckung ist. 



Archiv for Mathematik oa- Naturvidenskab. 4 B. 4 H. 31 



