482 Sophus Lie. 



WO a, ß, y, â die dritten Differentialquotienten von z hinsicht- 

 lich æ und y bezeichnen. Diese Gleichungen bestimmen 

 a, ß, y, d als rationale Funktionen von p^ q, r, s, t mit dem 

 gemeinsamen Nenner 



pqO-—p — q). 



Und da die Annahme, dass dieser. Nenner gleich Null ist, nur 

 developpable Flächen (das singulare Integral) liefert, so brau- 

 chen wir nur das allgemeine Integral, das offenbar (höchstens) 

 vier arbiträre Constanten enthält, zu bestimmen.^) Durch 

 Combination von unseren Gleichungen kommt 



2p -1 , 

 p(p — l) 



welche Gleichung als eine gewöhnliche Differentialgleichung 

 behandelt werden kann. Durch Integration nach bekannten 

 Methoden kommt 



wo T^, Y^, Fg unbekannte Funktionen von y sind. In ent- 

 sprechender Weise findet man die Gleichung 



wo die ^k nur von æ abhängen. Hierdurch findet man die 

 Gleichung 



gm z ^. jL gm ^ + Be'^'y + C=0 (5) 



mit den vier Parametern A, B, G, m, velche alle Differential- 

 gleichungen erfüllt, und somit das allgemeine Integral darstellt. 



Es gieht daher >o^ aehnliche Flächen, deren Haupttangen- 

 ten hinsichtlich aller Kegelschnitte des Büschels (4) conjugirt 

 sind. 



Wünschen wir endlich die gefundenen Flächen in Mini- 

 malflächen umzuwandeln, so brauchen wir nur die lineare 

 Transformation 



') Dass diese cxc^ Flächen durch ausführbare Operationen bestimmt werden 

 können, kann man unmittelbar daraus schliessen, dass ihr Inbegriff durch 

 alle Translationen und Aehnlichkeitstranstbrmationen ungeändert bleibt. 



