496 Sophus Lie. 



Kugelkreis in zwei getrenüten Punkten schneiden, und können 

 sie daher durch eine zweckmässige reelle oder imaginäre 

 Bewegung in die Ebenen z = Const, eines Cartesischen Coor- 

 dinatensystems überführen. 



Wir construiren die Tangenten zu der Schnittcurve der 

 Fläche mit einer beliebigen Ebene z = Const, Diese Tangen- 

 ten werden bestimmt durch die Gleichung 



dz^ =0 = p dæ^ -i- qdy^. 



Wir bestimmen eine zweite Tangente dz2 doo^ dy^, durch die 

 Gleichungen 



r dx^ dx^ + s {dx-^ dy^ + dy^^ dx.,) + t dy^ dy^ = 0, 



dz^ --= p dx^ + q dy^ , 



welche ausdrücken, dass die Tangenten dz-^, dx-^, dy-^ und 

 dz^, dx^, dy^ zu den beiden durch denselben Punkt hindurch 

 gehenden Haupttangenten harmonische Lage besitzen. Also 

 kommt 



(1X2 _ "'2/2 _ dz^ c\(x\ 



qs — pt ps — qr p {qs — pt) + q (ps — qr) ' 



Soll nun die Fläche durch Translationsbewegung einer ebenen 

 Curve, die in den Ebenen z = Const, gelegen ist, erzeugt wer- 

 den, so müssen die Verhältnisse -^ und -^-^ ungeändert 



bleiben, wenn z^^, ungeändert bleibt, ob auch x^ und in Folge 

 dessen 2/2 variirt werden. Dies giebt die beiden Relationen 



didy,\_d idy,\ ^ ^ 

 dxydx^l dyXdx^i ' 



d Ids 2 \ _ d Idz^ \ Ç. 

 dx\dxj dy\dx2J ' 



unter denen jedoch die letzte wegen der Gleichung 



dz2 _ ^ _L ^ ^y 

 sich auf die Relation 



(Åiuu o (J/JU o 



