500 Sophus Lie. 



§4. 



Minimalflächen, die durch Traiislationsbewegung einer 

 gewundenen Curve erzeugt werden. 



Jede Minimalfläche, wird bekanntlich in zweifacher Weise 

 durch Translationsbewegung- einer Kaumcurve, die die Gleichung 



dx^ + dy'^dz'^O (22) 



befriedigt, erzeugt. Wir stellen die Frage nach allen Mini- 

 malflächen die durch Translationsbewegung einer Rauracurve 

 c, die nicht die Gleichung (22) befriedigt, erzeugt werden kann. 

 Diese Aufgabe ist anscheinend ziemlich schwierig, insofern 

 eine direkte Behandlung derselben auf sehr weitläufige Rech- 

 nungen führen würde. Wenn ich nicht irre, ist es mir doch 

 durch gemischte Betrachtungen gelungen, diese Frage zu 

 beantworten. Es ergiebt sich zunächst, dass die Tangenten 

 der Curve c mit den Erzeugenden eines Kegels zweiten Grades 

 parallel sein müssen. Es ergiebt sich ferner, dass die oo^ 

 Fortschreitungsrichtungen, nach denen c bei der betreffenden 

 Erzeugung der Fläche successiv fortgeführt wird, ebenso mit 

 den Tangenten des besprochenen Kegels parallel sind. Hier- 

 aus ergiebt sich dann schliesslich, dass unsere allgemeine 

 Fragestellung nur die früher 'gefundene Schercy ske FVà.Q\i& mit 

 ihren Ausartungen liefert. 



Wird eine Fläche durch Translationsbew 'gung einer Curve 

 c erzeugt, so durchlaufen die Punkte dieser Curve congrueute 

 und gleichgestellte Curven k, sodass die Fläche auch durch 

 Translationsbewegung einer Curve k erzeugt werden kann. 

 Die Curven c genügen einer Differentialrelation 



rfy ^ id^ 



dz ■^ \dz 



und ebenso genügen die Curven k einer Relation 



dy^ _ . idxA 



