Zur Krümmungstheorie. 511 



bringen. Die geodätischen Curven, deren Länge gleich Null 

 ist, werden daher bestimmt durch die Gleichung 



k cp 



die integrabel wird, wenn die Funktion q) (k) die Bedingung 



Const. ? = '?--#^' = C^ 

 k (p' k 



erfüllt. Diese Bedingung ist eine Differentialgleichung 1. 0., 

 deren allgemeines Integral die Form P = Mcp'^ — 2 Gcp besitzt, 



während cp -= y^k^ das singulare Integral darstellt. Das allge- 



meine Integral liefert alle Flächen mit constanter mittlerer 

 Krümmung, während das singulare Integral die Minimalflä- 

 chen liefert. 



Auf den Flächen constanter mittlerer Krümmung können 

 daher nicht allein die Krümmungslinien sondern zugleich die 

 Curven ds = durch Quadratur bestimmt werden. Die Krüm- 

 mungslinien sind isolherme Curven. 



Die Haupttangentencurven einer Fläche, deren Krüm- 

 mungsradien durch eine Relation verknüpft sind, werden be- 

 stimmt durch die Gleichung 



Œ ,, cp — k q)' ^ ^ 



^^ du^ + — -—-- dv^ = 0, 

 A;" q) " 



die integrabel wird, wenn q) die Gleichung 



L . q) q)'^ P {q) - kq)') {L = Const.) 



erfüllt. Das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung 

 erster Ordnung besitzt die Form 



q>^ = Ak^ + L.A^] 

 die entsprechenden Flächen haben constante Krümmung; das 

 singulare Integral 



