328 



Über die charakteristischen Einheiten 

 der symmetrischen Gruppe. 



Von Gr. Frobenius. 



In meiner Arbeit Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe, Sitzungs- 

 berichte 1900, (im Folgenden Sym. citirt), stelle ich eine ganze Func- 

 tion mehrerer Variabein auf, deren Entwicklungscoefficienten dieWerthe 

 der k Charaktere der symmetrischen Gruppe .S} des Grades n sind für 

 eine bestimmte der k Gassen, worin die h = nl Substitutionen von 

 y> zerfallen. Die k verschiedenen Charaktere r /} K) können den k Zer- 

 legungen der Zahl n in positive Summanden n = x x + x a + • ■ • + k„ zu- 

 geordnet werden. Besteht die p te Classe aus allen Substitutionen, die 

 cc , ß ,y, ■■■ Cyklen der Grade 1,2,3, • • • enthalten, so erscheint jeder 

 einzelne Charakter % als ganze Function der Zahlen a , ,ß . 7 , •••. Der 

 zu (x) associirten Zerlegung n = x[+x i + ••• + y*'„ entspricht der zu y} K) 

 associirte Charakter % ( "'\ Diese Beziehung ist aber aus der für % ge- 

 gebenen Formel nur durch recht umständliche Betrachtungen abzuleiten. 



Es giebt nun eine zweite, von der dort entwickelten durchaus 

 verschiedene Darstellung der k"- Zahlen y}'\ Darin erscheint % w für 

 eine bestimmte der k Gassen als Function der Zahlen x,, ••• x M ,x 19 ••• x„, 

 die symmetrisch oder alternirend ist, je nachdem die Substitutionen 

 der Classe gerade oder ungerade sind. Die Art der Abhängigkeit lässt 

 sich in überraschend einfacher Weise beschreiben und ableiten und ist 

 in den Sätzen I, II und III des § 8 ausgesprochen. Aber es dürfte 

 nicht leicht sein, sie, wie bei der ersten Darstellung, in Gestalt fer- 

 tiger Formeln auszudrücken (vergl. § 1 2). 



Jedem der k Charaktere % entspricht eine primitive Darstellung 

 der Gruppe .VS durch lineare Substitutionen. Um diese zu erhalten, 

 reicht aber die Kenntniss der k Werthe % nicht aus, sondern dazu 

 muss noch ein anderes System von h Zahlen berechnet werden, wofür 

 ich hier den Namen einer für die Gruppe £> charakteristischen Einheit 

 einführe. Aus den h Werthen, die eine solche Einheit für die h Ele- 

 mente von .'ö besitzt, lassen sich die k Werthe, die der entsprechende 

 Charakter % für die k Gassen von Elementen annimmt, ohne Weiteres 



