Fbobenius: Die charakteristischen Einheiten der sy etrischen Gruppe. 329 



erhalten. Ein gewisser Vorzug der hier gegebenen Methode vor der 

 früheren besteht darin, dass sie in der einfachsten Art für jede pri- 

 mitive Darstelluni;- der symmetrischen Gruppe eine charakteristische 

 Einheil giebt. Wie sich dabei zeigt, kann man die h linearen Sub- 

 stitutionen jeder primitiven Darstellung der symmetrischen Gruppe so 

 wählen, dass ihre Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind. 



In § i und § 2 setze ich die Eigenschaften der für eine Gruppe 

 charakteristischen Einheiten ausführlicher auseinander, als in meinen 

 Arbeiten Über die Darstellungen der endlichen Gruppen durch lineart Sub- 

 stitutionen, Sitzungsberichte 1897 und 1899, (im Folgenden D.I. und 

 D.H. citirt). Die primitiven Einheiten, die ich dort allein het rächtet 

 habe, untersuche ich genauer in § 2. In £ 3 betrachte ich die Ein- 

 heiten, die aus Einheiten einer Untergruppe erhalten werden, und gi - 

 lange dadurch ZU neuen Beweisen für die Sätze, die ich in meiner Ar- 

 beit Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen 

 ihrer Untergruppen, Sitzungsberichte 1898, (im Folgenden Rel. citirt) 

 entwickelt habe. In § 4 und § 5 ziehe ich aus meiner früheren Dar- 

 stellung der Charaktere der symmetrischen Gruppe einige Folgerungen, 

 mit deren Hülfe ich in tj 6 und sj 8 auf zwei verschiedenen Wegen 

 die neue Darstellung ableite. 



In dem zweiten Theile der Arbeit nehme ich die ganze Unter- 

 suchung von Neuem auf. gebe eine von der früheren völlig unabhän- 

 gige Herleitung der Charaktere, entwickle in § 7 den gedanklichen, 

 in Jjjj 9 — 1 1 den formalen Inhalt der neuen Theorie und berechne end- 

 lich in £ 12 nach dieser Methode die Werthe <\<-\- Charaktere i'ür 

 einige specielle (lassen. 



§ 1. 



Seien R,S, T, ■•• die Elemente einer Gruppe .vS der Ordnung h, 

 und (R) , {S) , {T) , ••• Matrizen // e " Grades, die eine mit vS homomorphe 

 Gruppe bilden. Sind dann x B , x s , x T , ■■■ h unabhängige Variabele, so 

 nenne ich die Matrix 



(X) = {R)x R + {S)x s + (T)x T +--- =X(R)x M 



die dieser Darstellung von jp entsprechende oder eine zur Gruppe S£ ge- 

 hörige Matrix. Seien y H , y s , y T , ■■■ ein zweites System von h unabhän- 

 gigen Variabein, und sei 



(1.) z T =X* M y a ( RS y '>- 



worin R und/S alle Elemente von V* durchlaufen, deren Product RS = T 

 ist. Isl dann (Y) = X(R)y R und (Z) = X{R)z R , so ist {X)(Y) = {Z), 



