SSO Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. März 1903. 



und umgekehrt ist durch diese Gleichung (X) als eine zu vS gehörige 

 Matrix charakterisirt. Ich hahe mich in meinen Untersuchungen {D. I. 

 und D.H.) auf den Fall beschränkt, wo die Determinanten der Matrizen 

 (R) , (S) , (T) , ■■■ von Null verschieden sind. Die benutzten Methoden 

 bissen sieh aber auch auf den Fall anwenden, wo diese Bedingung 

 nicht erfüllt ist (am einfachsten, indem man (E) auf die Normalform 

 bringt). 



Ist die Darstellung eine primitive, so ist die Determinante der 

 Matrix (X) ein Primfactor $(x) der Gruppendeterminante |.r Äs ^i|. Ist 

 n =f der Grad von 3>, so bezeichne ich den Coefficienten von u f ~ x 

 in <b(x + ue), den ich die Spur der Primfunction 4> nenne, abweichend 

 von meinen bisherigen Festsetzungen mit X y J (R~ 1 )x s , und nenne yjR) 

 den der Primfunction 3> oder der betrachteten Darstellung entsprechen- 

 den (einlachen) Charakter von §. 



Ist die Darstellung aber keine primitive, so kann eine ihr äqui- 

 valente Darstellung in eine Anzahl völlig bestimmter primitiver Dar- 

 stellungen zerlegt werden. Findet sich darunter die dem Charakter 

 yJ x \R) entsprechende r x (>0) Mal, so ist die Spur der Matrix (X) gleich 

 X <f(R~ 1 )x R , worin 



V (B) = X r,y^{R) 



ein zusammengesetzter Charakter von .vS ist. So nenne ich, zweck- 

 mässiger als früher, eine lineare Verbindung der Charaktere nur dann, 

 wenn ihre Coefficienten positive (^0) ganze Zahlen sind, weil nur 

 einer solchen Verbindung eine Darstellung von $} entspricht. 



Ein System von h Grössen a K , die nicht alle verschwinden, und 

 den Bedingungen 



(2.) Xa K a s = a T (RS=T) 



genügen, nenne ich eine für die Gruppe .s5 charakteristische Einheit. 

 Die Matrix h 1 "' Grades A = {a ss -i) genügt, ebenso wie jede zu § ge- 

 hörige Matrix für #*.= a R , der Gleichung A* = A , ihre charakteristische 

 Determinante 



\ue BS -i-a xs -i\ = (m-1)"u*- 



zerfällt daher in lauter lineare Elementartheiler, mithin ist n der Rawj 

 von A. Ihre Spur ist ebenfalls 



(3.) ha B =n, 



da in einer Matrix die Summe der Hauptelemente der Summe der 

 charakteristischen Wurzeln gleich ist. Ist also a E =0, so genügt A 

 bereits der Gleichung A = 0. Damit folglich die Zahlen a R nicht alle 



