Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 331 



verschwinden, ist nothwendig und hinreichend, dass a £ , also auch 

 die Spur ha E von Null verschieden ist. 



Die_ Matrix //""Grades X={x ss -x) heisst die Gruppenmatrix, die 

 Matrix X = (a? s -i Ä ) die antistrophe Gruppenmatrix. Die Matrizen A und 

 Y= (ys-'x) sind mit einander vertauschbar. Ist Zr Ad", so ist Z= FX 

 Ist also A- = A , so ist auch A % = Ä. 



Aus der Gleichung XY = Z folgt daher Zl . YÄ = ZÄ, und mit- 

 hin ist 



XÄ = ÄX = XV.T 



eine zur Gruppe § gehörige Matrix (Z). II, § 6). Ihre Spur ist 

 -. o s -i x -\ s x R , und folglich ist 



(4-) ?(/«) = 7 «>-'*>■ = 2r, x W(Ä) 



ein zusammengesetzter Charakter von fö. Ich nenne ihn den durch 

 die Einheit a B bestimmten Charakter. Ist q>{R) ein einfacher Charakter, 

 so nenne ich die Einheit a,, eine primitive. Da <p(E) = ha E ist, so isl 



(5.) n = 2 r x /W 



die Spur und zugleich der Rang der Matrix A. 



Ich habe D. II, § 5 gezeigt, wie man einen und allgemeiner alle 

 Einheiten finden kann, die einen gegebenen einfachen Charakter %(.??) 

 bestimmen , und wie man mit Hülfe einer solchen Einheit eine dem 

 Charakter yjl') entsprechende primitive Darstellung von .0 erhält. 

 Aus diesen Entwicklungen ergiebt sich auch die allgemeinste Lösung 

 der analogen Aufgaben für einen behebigen zusammengesetzten Cha- 

 rakter cp(-R)- Auf die Thatsache, dass jede Einheit einen (einfachen 

 oder zusammengesetzten) Charaktervoll \S erzeugt, hat mich Hr. [ssai 

 Schur aufmerksam gemacht. 



Ist "Xj(R) ein (einfacher) Charakter des Grades/, der in der Summe 

 (4.) den Coefficienten r hat, so ist 



(RS=T). 



so ist diese Matrix mit jeder Gruppenmatrix vertauschbar und genügt 

 der Gleichung J 2 = J. (Die Einheit • yjR) bestimmt den Charakter 

 f%(R)). Daher ist auch (AJf = AJ. Setzt man also 



(7.1 2 »/.•:■:(*) = 2 x( A')« N = ; J. /,, (KS=T) 



