Fbobenius: Die charakteristischen Einheiten der syi etrischen Gruppe. :>:>:i 



Sind A und AJ äquivalent, so ist A.l = A. Isi umgekehrt AJ = Aj 

 so ist der von A bestimmte Charakter r/Ah') ein Vielfaches eines einfachen 

 CharakterSj und rf = ha E ist die Spur (der Rang) von A. 



Bestimmt die Einheit a K den Charakter tp(Ä), und eine andere 

 Einheit h,. den Charakter 



s 

 so ist 



i. cpl/r'jj'l/,') = hX i\s, — hm. 



R i. 



Nun ist 



cp(A') = i a m .„ ü(A') = i 6 r _ 1Är , 



also (wenn man R durch <§ 'RS ersetzt) 



A'.N.7' 



Nun durchläuft >sT die ä Elemente S von .'ö. jedes /> Mal, daher ist 

 m = X a x ^b s ^ ss = X a xs b E - ls -, = X a Ä _!^(Ä) = i b R , ( A'i 



die Spur der Matrix .45 = #A, und da (AB)- = (AB) ist. zugleich 

 der Rang dieser Matrix. 



Ich betrachte nun den Fall, wo in — 1 ist. also, da die Zahlen 

 i\ und s, alle > sind, wo sowohl q> wie \J/ den Charakter % nur 

 ein Mal enthalten, sonst aber keinen Charakter gemeinsam haben. Dann 

 hat die Matrix 



AB = (X a BT -ib s - iT ) 



T 



den Rang 1. Daher verschwinden auch in der Matrix 



Cg £ = — "/,'/-! ">'/' == -" a ftTS ''r-> == -* tl T-l "STR 



T r r 



die Determinanten zweiten Grades, mithin ist 



C E,K C R.S = C R,E C E,S> 



also 



'"'/:./■: — c r.s-i- v s = ''/,'./,'' — '■'/:.* -!•''.< == c r.e z ' 



und demnach 



11. s r 



oder 



(1.) ,-.l.Yß = *J£, 



wo c und e die Spuren von A.B und AXB (oder 7>VLY) sind. Setzt man 



5 b R a s — rf r (ÄS /'l. 



