'.\'M Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. März 1903. 



so ist 



(2.) z = h% d R _ x x lt (D = BA). 



v R 



Durchläuft % die k-] von % verschiedenen Charaktere von V», und 



setzt man 



J' = ({xW), 



so ist nach (10.), § i J+ 2</ = E. Ist % in 9 (oder -^z) nicht ent- 

 halten, so ist AJ' = (oder BJ' = 0). Da J' mit jeder Gruppenmatrix 

 vertauschbar ist, so ist demnach stets ABJ' = 0, und mithin 

 AB = ABB = AB(J+ %J') = ABJ = AJB. 



Ehe ich daraus weitere Schlüsse ziehe, betrachte ich den Fall 

 A = B. Dann ist 



m = i a ss a„ _,,<•_, = S rl 



B, S 



stets und nur dann gleich 1, wenn A eine primitive Einheit, 9 = % 

 ein einfacher Charakter ist: 



I. Ist a E von Null verschieden, und A % = A, so besteht die not- 

 wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass A eine primitive Einheit 

 ist, darin, dass die Spur von AA gleich 1 ist. 



(3.) 2 « A ,_,a,_, ß|ir = X Ojegffljg-^-, = 1. 



w B,S X,S 



Die Spur von Ä 2 = A ist /. Ist B = A. so ist D = BA = A. 

 Mithin ist nach (1.) 



(4.) fAXA = xA, 

 wo 



(5.) * = U%-,«,, 



die Spur von AX ist, Folglich ist f(AX) 3 = x{AX). Ist also x von 



Null verschieden, so ist — AX eine Einheit, deren Spur/ ist. Da 



JA = A ist. so ist J{AX) = (AX), und folglich ist % der von dieser 

 Einheit bestimmte Charakter. 



II. Ist A eine primitive Einheit des Ranges f, ist X eine beliebige 



Gruppenmatrix, und ist die Spur x der Matrix AX von Null verschieden, 



f f 



so ist — AX (und — XA) eine mit A äquivalente Einheit. 



Ich kehre nun zu den obigen Voraussetzungen zurück. Da 9 den 

 Charakter % nur einmal enthält, so ist AJ eine primitive Einheit, auf 

 die ich den Satz II anwende. Ist also die Spur c von (AJ)B = AB 



f 

 von Null verschieden, so ist ^ AJB eine mit AJ äquivalente Einheit, 



