Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 335 



III. Wenn die von den Einheiten A und B bestimmten zusammen- 

 gesetzten Charaktere den Charakter % des Grades f jeder nur einmal ent- 

 halten, sonst aber keinen Charakter gemeinsam haben, (oder kürzer, wenn 

 die Spur von AB 



(6.) - a x-' J s-> ss = 2 a xs b x -, s _, = l 



ist), und wenn die Spur c von AB nicht verschwindet, so ist 



^AB (= {;AXb) 



eine den Charakter % bestimmende Einheit. Ist aber c = 0, $o ist entweder 

 AB = oder BA = 0. 



Ist Y eine beliebige Gruppenmatrix, so ist nach (4.) 

 fA(YX)A =zA, 

 wo z die Spur von AYX oder XAY ist. Mithin ist 



fX(A YXA)Y = zXA Y, f(XA Y f = zXA Y. 



Ist also - von Null verschieden, so ist — XAY eine den Charakter % 



bestimmende Einheit. Mittels der oben benutzten Methoden folgt 

 daraus: 



Seien A, A', A". ■•• mehrere Einheiten, 9, 9', 9", ■•• die von ihnen 

 bestimmten zusammengesetzten Charaktere, und sei AA'A" •■■ = B. 

 Haben 9,9', 9", ••• nicht alle einen Charakter % gemeinsam, so ist 

 B = 0. Haben sie nur einen Charakter % gemeinsam, und ist % in 



einem dieser Ausdrücke nur einmal enthalten, so ist , B eine den 



Charakter % bestimmende Einheit, vorausgesetzt, dass die Spur & von 

 B nicht verschwindet. 



Ein specieller Fall des Satzes, dass - XAY eine mit A äquiva- 

 lente Einheit ist, ist der folgende Satz: 



IV. Ist a R eine primitive Einheit, sind P und Q zwei feste Elementt . 

 und setzt man, falls a ril von Null verschieden ist, 

 a E a PR q = <i P<t R , 



so ist b /t eine mit a K äquivalente Einheit. Ist aber a P(l = und a PKri = b R , 

 so ist B* = 0. 



Wenn A eine primitive Einheit ist, so ist nach (4.) 



(7.) a E X a ,-,(/,.,■* = a K a s . 



Diese Gleichung, die für R — E in (2.), § 1 übergeht, umfasst, falls 

 a E ton Null verschieden ist, alle Eigenschaften der primitiven Einheiten 



