Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 331 



ein zusammengesetzter Charakter vmi \v Gehört R der :"" Classe 

 in ö eonjugirter Elemente an, so stellt S~ l RS jedes der h Elemente 

 dieser Classe h Mal dar. Enthält © kein Elemenl dieser Classe, so 

 ist <p{R) = 0. Im anderen Falle ist 



^cp(R) = Xa p , 



wo /' die verschiedenen in © enthaltenen Elemente t\n ;" Classe 

 durchläuft. Dann aber durchläuft sie auch Q^PQ, falls Q irgend ein 

 bestimmtes Element von © ist. Daher ist 



X a = X a q _ lpCl , gX a p =X " xp = i, -,i.( P), 



P P P P.Q K ]> 



und folglich 



(i.) q.(/?) = 4~ 2 0/(P), g<p(R) = X'*l>(S- , BS) (S-'ÄS<®). 



Die letzte Summe erstreckt sieh nur über die Elemente S von $, für 

 die S~ 1 RS<(§, d.h. in © enthalten ist, die erste über die verschie- 

 denen in © enthaltenen Elemente der c tc " Classe. 



Ist yj(J?) ein (einfacher) Charakter des Grades / von yS, und 

 durchläuft jetzt wieder P die g Elemente von ©, so ist nach (9.), § 1 



(2.) Xx(P- 1 )"r = r 



p 



eine positive ganze Zahl. Demnach ist 



gr = i xCQ-^QH-^ = 2 x(P- l )aq->rQ 



p-'i p.Q 



und folglich 



(3-) 2*{P- 1 )x(P)=ffr, 



p 



wo < r <f ist. Auf einem anderen Wege habe ich diese Resultate 

 Ret. § 1 und 3 erhalten. 



Nach Satz III. § 1 ist dann, falls r>0 ist. 



(4.) b M = £xa r - lX (FR) 



ii p 



eine für .vS charakteristische Einheit, die den Charakter ryjli) be- 

 stimmt. 



I. Ist %{R) ein Charakter des Grades f für die Gruppe £ der Ord- 

 nung hj und ist a, P eine charakteristische Einheit für eine l htergruppe © 

 von §. so ist 



X« J ,->x(P) = >- 

 p 



eine positive ganze Zahl, die </ ist. Ist sie von Null verschieden, so ist 



■' Xa P . lX (PB) 



11 p 



eine für § charakteristische Einheit, die den Charakter r%(R) bestimmt. 



