388 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. März 1903. 

 Sei h = gn und 



5 = -.4«® + A l ®+--- A„_ßi = ®A? + ®-47'+ ■ • • + ®a:1, . 

 Wählt man für gb P = -^(P) einen linearen Charakter von ©. so isl 



x p ' 



eine zu jf> gehörige Matrix, und folglich ist (Rel. Jj 3) die Determi- 

 nante «"" Grades 



(5-) I - MP- 1 )*apb-> I = n*' (A .B -A ,A X ,- 4_,)- 



p 



Das Product erstreckt sich über die k Primfactoren * der Gruppen- 

 determinante von 5. Entspricht der Charakter % der Primfunction *, 

 so gieht. wie die Vergleichung der Spuren zeigt, die Formel (3.) den 

 Exponenten r von *. 



Gelingt es also, die Untergruppe © und ihren linearen Charakter \J> 

 so zu wählen, dass einer der Exponenten r = 1 wird, so bestimmt 

 die Einheit b R einen einfachen Charakter yjR). Man kann daher 

 eine ihm entsprechende primitive Darstellung von jp finden, worin 

 die Elemente der Matrizen /"'" Grades (R) , (S) , (T) , ■■■ keine an- 

 deren Irrationalitäten enthalten, als die in den Werthen von ^(P) 

 und yjR) auftretenden Perioden von Einheitswurzeln. Dies ergiebt 

 sich auch aus der Bemerkung, die ich D. I am Ende des § 3 ge- 

 macht habe. 



Seien s }3 und zwei Untergruppen von >3, sei P (Q) ein variables 

 Element von ^3 (Q), und a P (bq) eine für %^ (Q) charakteristische 

 Einheit. Setzt man dann a K = (b s = 0), falls R nicht in T» (O) 

 enthalten ist, so sind A und B zwei für § charakteristische Einheiten. 



Die Elemente der Matrix AB = . C sind 



c x- ; 



C R = 5 OpOg, 



die Summe erstreckt sieh über alle Elemente P und Q der Gruppen "1* 

 und ü, die der Bedingung PQ = R genügen. Gehört also R dem 

 Complexe tyQ nicht an, so ist c R = 0. 



Ich nehme nun an, dass s }3 und theilerfremd sind: Dann kann 

 ein Element R des Complexes ^3Q nur in einer Art auf die Form PQ 

 gebracht werden. Daher ist 



