Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 339 



ist daher von Null verschieden. Seien q> und -d die von I und B 

 bestimmten zusammengesetzten Charaktere von >v Haben sie nur 

 einen Charakter % gemeinsam , und enthäll einer von ihnen % nur ein- 

 mal, so ist C nach Satz III. § 2 eine primitive Einheil von .vS, die den 

 Charakter % bestimmt. Insbesondere tritt dies ein, wenn die Spur 

 von AB gleich 1 ist, also 9 und i Leide den Charakter % nur ein- 

 mal enthalten. Diese Spur ist 



Jt. S r. s 



die Summe erstreckt sich über die Elemente P und Q der Gruppen >}3 

 und 0, die der Bedingung R~ l PRQ = E genügen. Ist .also 



(8.) ^ "pl'q =1 (R 'PÄQ - /.,,. 



so ist C stets eine primitive Einheit von .vS. 



§4- 

 Die Charaktere der symmetrischen Gruppe £ des Grades n und 

 der Ordnung h — n\ ergeben sich aus der Formel (Sym. § 2, (2.)) 



( 1 •) -\" °i «? ■ • ■ a (./-, , • • • x m y = x [x,, • • ■ >.„,] x^*?-' 



in der 



s x = ** + #.* + • • • ■+- a?* 



ist. Die p te der & Classen, worin die Elemente von <Q zerfallen, besteht 

 aus allen Substitutionen , die ot,,ß,y, • • • Cyklen der Ordnungen 1,2,3, 

 enthalten, so dass 



(2.) a + 2j3 + 3y+ ••■ = n 



ist. Der X 1 '' Charakter y}' ] ist durch die m verschiedenen Zahlen X, , • X 

 bestimmt, die der Bedingung 



(3.) Xj + X 2 H 1- X„ == « + { m (m-1) 



genügen. Die Zahl w kann beliebig gewählt werden. Soll aber die 

 Formel (1.) alle k Charaktere von £1 liefern, so muss m>n sein. Je 

 nach der Wahl von m ändern sich die Zahlen K, ■■■ X„, (Sym. § 4). 

 Sind r dieser Zahlen >m, nämlich m + a lt ■■•m + a r , und bilden die 

 m — r Zahlen, die <m sind, zusammen mit den r Zahlen 



in — \ - b x , • • ■ 111 — \ — b, 

 die m Zahlen 0. 1. •■■ m — 1, so sind die 2r Zahlen der Charakteristik 



die man so ordne, dass 



«! > «2 > • • • > a r , b x > ba > • • • > //, 



ist, von der Wahl von m unabhängig. Oder ordnet man die Zahlen 

 X; , • • • X,„ so, dass X, < X, • ■ < X,, ist, so seien 



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