Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 341 



mit A,, >,.•••>,„> so ergiebl sich durch Auflösung der Gleichungen (i.), 

 falls A, </,<■•• <A„, ist, 



''x, .>.„,... >.„, h. 



- t/ o . l . • • • »i - 1 B " 



wo (A) die Charakteristik (3.) bedeutel und 



(8.) ■ h = l«a!2 ß ß!3»y!--- 



ist. Ersetzt man A,„ . A,„ _,,••• A, durch A a + m — 1 , A, + m -'_'.••/ , so 

 wird 



(9-) -Si— - = S -f x^*i *••?■•■ i 



-".«-l.n;-2. •••0 i " ' 



wo jetzt (A) die Ordnungszahl der Zerlegung 



(X) » = A, + A 2 + ••• X m (X, >>. 2 ^ ^x,„>0) 



bedeutet. 



Ist p'"* die Anzahl der in "}3„ enthaltenen Substitutionen der 



o ten Classe, so ist. falls m > x[ ist, -£f- der Coefficient von x^x*- ■ ■■ x* 



ph 



in der Entwicklung- von s"s-?s^ ■■■ (Sym. § i). Daher ist 



s?s? s? • ■ • =5 — \- o(x'ix*± ■ ■ ■ x "•). 

 W ^- Ä ä " 



Hier ist S eine symmetrische Function von x 1} ■■■ x„, die Summe aller 

 verschiedenen Glieder, die aus x*< ■•■ x* m durch alle Permutationen von 

 x { ,---x m erhalten werden. Ich setze nun 



2 P, x! = P*. r *> 



oder einfacher, wenn P„ die p x Elemente der Gruppe "p x durchläuft, 



(io.) 5 x ")(i , ,)=?.^, 



Nach (3.), § 3 ist dann r r> eine positive ganze Zahl, z.B. r i ._ 1 ^=f x , 

 und nach (9.) ist 



(II.) -^j ~ = 2 *"■* ^W «l'- *». ) • 



i-'m-l, m-a,..-0 * 



In dieser ganzen Function ordne ich die Glieder so. dass arfifffs ■■■x£» 

 von x^x^---x^ steht, wenn (« 15 ä 2 •••)>(/ö 1 , /6 2 •••) ist. Dann ist im 

 Zähler des Bruches (11.) das erste Glied x^ + "- 1 x^ + "" 2 ■ • • a\N und im 

 Nenner # 1 m_1 a; 2 m ~V" x°, also im Quotienten x? 1 x£ 2 ■ ■ • x*«>. Daher ist 

 (Issai Schur-, Dissertation, ^22) 



(12.) r„ x = (*<X) , n, = 1, 



wenn (Xj ,/.„.■•■)> (A, . A, , • • • ) ist. 



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