342 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. März 1903. 

 Ist nun in der Formel (5.), §3 © = %* K , h = p y n, so ist 

 (13.) D,= |S* jU «-,| = n*r* (.A,B = A a ,A 1 ,...A n . l ), 



wo *, die dem Charakter 7/" entsprechende Primfunction ist. In der 

 Zerlegung von D„ kommen also <S>„ +1 , • • • **_! nicht vor, sondern nur 

 #„, <*% ••• $„, und zwar <J> X (und * ) genau in der ersten Potenz. Z. B. 

 ist D B — $0.1), = *o*i und für n = 3 D, = $ *5* 2 > für « = 4 aber 



g 5- 



Unter den \x positiven Zahlen der Zerlegung 



(«) »= ai + a 2 H ha« (a, >« 2 > •■•S««>0) 



seien /3 15 die >1 sind. ,S 2 , die > 2 sind, allgemein ß r , die > <r sind. 

 Oder es sei j8, = /ex, und es seien unter jenen \x Zahlen ß l -ß a gleich 1, 

 ß a —ß 3 gleich 2, allgemein ß c -ß <r+1 gleich er. Dann ist 



n = (ß l -ß 2 ) + 2(ß 2 -ß 3 ) + 3(ß3-ß4)+ •••• 

 also 



(ß) n = ßi + ,S 2 + ••• +ß„ (ßi^ß 2 > — >ß„>0). 



Ist at > (7, so sind auch a, x ^ « 2 > • ■ • > a, > er. Daher ist die An- 

 zahl der Zahlen o, , ot 2 • • ■ ä w die > er sind, nämlich ß r > p. Ist /3 = ß r , 

 so ist a 5 die letzte der Zahlen ct l , a 2 , •••<*„, die > er ist. Ist also 

 et <<r, so ist cc ;5 >ä j , und folglich ß<p. Von den beiden Ungleich- 

 heiten 



(1.) *;^°- I ß, = P 



ist also jede eine Folge der andern, und dasselbe gilt von 



(2.) a,<<r , ß.<p. 



Unter den v Zahlen ß lf ß 2 , •■• ß, sind also p, die >p sind. Die 

 beiden Zerlegungen (u) und (/3 ) heissen associlrte Zerlegungen der Zahl n. 

 Ferner ist immer 



(3.) « i + p r ^p + B— 1. 



umgekehrt bestimmen die Ungleichheiten (3.) zusammen mit den 

 Gleichungen 



(4.) tti = v , ßi = fi 



die v Zahlen ß x ,ß a , -••$„, wenn u^a..,. ••• «„ gegeben sind, und um- 

 gekehrt. Denn die ja + v Zahlen 



(5.) m,-1 ,ao-2 , ■•• a a -fx, -ßi, -ß s + 1 , ■ •• -ß, + V-1 



sind alle unter einander verschieden, die grössteistej,— 1 = y— 1, die kleinste 

 -$! = -u, und folglich stimmen sie, abgesehen von der Reihenfolge 



