Frohenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe, 3 I '■'> 



mit den ju + v auf einander folgenden Zahlen v—l,v — 2,---0, — l,---—p 

 überein (Sym. § 6, (4.)). 



Seien (k) und (A) zwei andere associirte Zerlegungen. Damit dann 

 in der Formel 



#x,+«,-l.x,+„>-2....z„, 



— n — - = Ai' m 5« , a!s" 1 -- <-) 



X/,„ -1 , m - 2, • • • 



?•„„ wirklich vorkommt, muss m > A, und »2 > /3, sein. Ist also m = A 15 

 so kommen in der Entwicklung- ;dle Zahlen r M vor, für welche /3, < A, 

 ist. Dann ist aber x m >0, also die linke Seite durch x 1 x s ---x m theilbar. 

 Folglich ist r aK = 0, wenn a m = ist, also wenn ß { <m (= ? n ) ist. 

 Auf der rechten Seite kommen also nur solche Glieder vor, worin 

 ßi = *i (— m )j a lso a„, >(> ist. und demnach kann man beide Seiten 

 durch x l x 2 ---x,„ theilen. Von den Zahlen x m ,x m _i,--- sind A, — A 2 

 gleich 1. Ist A,— A 2 >0, so setze man # m = 0, hebe den Bruch durch 

 x l x a ---x m _ l , setze dann x m _ t = 0, hebe durch x 1 x i ••• x m _ 2 u. s.w., 

 setze endlich o^ 2+1 = 0, und hebe durch x 1 x 2 ---x^. Keine der in der 

 Summe auftretenden symmetrischen Functionen S wird dabei identisch 

 Null, und man erhalt, falls m jetzt A 2 bedeutet, 



"x,+m-!,x,+«-3,..-»„-l v „. . j _, 



Lf m _!,,„_ 2 , ... 



Da *„, >1 ist, so ist die linke Seite durch x 1 x., • ■ ■ x m theilbar. Folg- 

 lich ist r m = 0, wenn u,„ = 1 ist, also wenn $, <m (= A 2 ) ist. Indem 

 man so weiter schliesst, erkennt man, dass stets r m = ist, wenn 

 (ß 1 , /3 2 , /8 3 , ■ • •) < (Ai , A, , A 3 , • • •) ist. Sind also jetzt (x) und (A) zwei be- 

 liebige Zerlegungen, (•/.') und (A') die ihnen associirten, so ist (vergl. 

 Schur, Dissertation, § 20) 



(6.) /■„, = 11 {y.'>\'). 



wenn (k[ , x 2 , • • •) < (A^ . A 2 , ■ • • ) ist. 



Besteht die Substitution 22 aus u,,ß,y,&, ••• Cvklen der Grade 

 1 , 2 , 3 , 4 , • ■ • , so ist 



(7.) >(Ä) = (-l) ; + * + '" 



der dem Hauptcharakter associirte Charakter y} k ~ l) = % (0) . Ist dann 

 {•/.') die zu (x) associirte Zerlegung, so ist (Sym. § 6) 



(8.) X M (*) = X W (*)*(*) 



der zu x W associirte Charakter, und 



(9-) *■-(**) = *.(>(*)*•) 



die ihm entsprechende Primiünction. 



