344 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. März 1903. 



Durchläuft Q die Elemente der Gruppe Q„ = sT 3„., so ist analog 

 der Formel (13.), § 4 



| i XAQB-i i = n # x . , 



also, wenn man x R durch §(R)x H ersetzt. 



(10.) D'„ = | X >(Q)*^b-i | = n $["'*'. 



o x * 



In diesem Producte kommen nur *„ , * K+1 , ■•• **_i vor, und zwar 

 #„ (und 4><._,) in der ersten Potenz. Folglich ist $„ der grösste ge- 

 meinsame Divisor von D x und D„. 



§6. 



Ist P = P„ ein Element der Gruppe ^ = sr 3 x der Ordnung p = p K , 

 so erhält man eine für ^3 charakteristische Einheit a P , indem man 

 pa P = 1 setzt. Ist Q = P„. ein Element der Gruppe = ö„ = ^P„. 

 der Ordnung q = p x ., so erhält man eine für Q charakteristische Ein- 

 heit b Q , indem man qb Q = S-(Q) setzt. Ist ferner a It = (6 Ä = 0). falls 

 R nicht in "13 (Q) enthalten ist. so sind A und P zwei für .\S charakte- 

 ristische Einheiten. Ist (■/.') die zu (x) associirte Zerlegung, so kann 

 man die Gruppe so wählen, dass sie zu ^3 theilerfremd ist (§ 7). 

 Dann und nur dann nenne ich sr 3 und associirte Untergruppen von vv 



Bestimmt die Einheit b R den Charakter 



HR) = %r^){R), 



so ist nach (9.). § 1 



qr, = q X &*-. X W(i?) = S Z(Q) X W (Q) = 5 X M (QK 

 » <<> <2 



also weil Q = P^ die q — p x , Elemente der Gruppe $p„, durchläuft. 



nach (10.), § 4 r, = r xV . Demnach sind 



(I.) «p(Ä) = 5 r K) . x W(/0 , J'(ß) = 2»v, X W(Ä) 



die von .4 und B bestimmten Charaktere von SS. Da r xy = r„ v = 1 ist, 

 so enthält jeder den Charakter % = % {x) ein Mal. Da ferner r KV = 

 ist . wenn z < A ist, und r x . x , = 0, wenn x. > A ist, so haben sie ausser 

 % keinen Charakter gemeinsam. 



Nach den am Ende des § 3 entwickelten Formeln erhält man daher 

 eine den Charakter % bestimmende Einheit C von .V>, indem man c K = 

 setzt, falls R dem Complexe ^3Q nicht angehört, sonst aber 



CPQ 



f apbg 



]l II /: ///; 



also 



(2.) c Pq = t p(Q). 



