Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 345 



In einer künstlicheren Weise kann man die Resultate der§§ 4 und 5 



verwert Ihm. indem man die Summen 



bildet, was ich hier nicht weiter ausführen will. 



Zu dem Ergebniss (2.) kann man aber auch gelangen, ohne von 

 den in vi 4 und i; 5 entwickelten Formeln mehr als die Gleichung r HK = 1 

 vorauszusetzen, indem man eine Eigenschaft der assoeiirten Unter- 

 gruppen benutzt, zu deren Ableitung ich mich jetzt wende. 



§ 7- 



Seien (a) und (/3) zwei assoeiirte Zerlegungen 



« = en + « 2 + h a„ = ßj. + ß 2 + • • • + ß, , 



und seien 



(P) 



die w = /3, Systeme von Symbolen, tue von den Substitutionen von 

 ip„ = 1p unter einander vertauscht werden. In jeder Horizontalreihe 

 oder Zeile dieses Schema (graph nach Sylvester) stehen die Symbole 

 einer Abtheilung. Da oc l >ot, 2 >--->ci u >0 ist, so enthält jede Zeile 

 mehr (>) Symbole als die folgende. Die n Symbole sind aber auch in 

 vertikalen Reihen oder Spalten so geordnet, dass sich leere Plätze nur 

 am Schluss einer Zeile finden. Die erste Spalte enthält \x = ß l Sym- 

 bole, die zweite so viel weniger, als es Abtheilungen giebt, die nur 

 ein Symbol enthalten, also #, - ( l Q l — ß i ) = ß 2 u. s. w. Durch Vertauschung 

 der Zeilen und Spalten erhält man daher aus p das Schema 



(q) 



«Sa, 2 



a» 



Benutzt man diese Eintheilung der n Symbole bei der Bildung 

 der Gruppe % = O« = 0, so sind ip und theilerfremd. Theilt man 

 die «Symbole in anderer Art in v Systeme von je ,8, , fi 2 , ••• ß v Sym- 

 bolen, etwa 



'■,, '•,, Cß,,, 



(q') 



C u r._, ■ ■ ■ Ca , 



