Fbobenids: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. •> I i 



I. Sind T> und ü assocürte Gruppen, so ist I' ' N D/.' stets und nur 

 dann ebenfalls mit ü associirtj also zu ü theilerfremd, wennR = PQ dem 

 Complexe T*ü angehört. 



Gehört 7? dem Complexe *)3Q nicht an, so haben R 'IV.' und Ü 

 eine Substitution gemeinsam, also haben sie, da ihre transitiven Kon- 

 stituenten symmetrische Gruppen sind, auch eine Transposition '/' ge- 

 meinsam. 



Ein anderer Beweis, auf den ich hier nicht eingehe, stützt sich 

 auf den Satz: 



Bilden die mit "13 vertauschbaren Elemente der symmetrischen Gruppe Ö 

 die (Sruppe ^f, und ist -D der grössle gemeinsame Theiler von T»' und 0. 

 so ist %<*' = s 13t> = D«p. 



Bezeichnet man jetzt mit Ü eine beliebige der Gruppen N }).. die 

 der Zerlegung (ß) entsprechen, so kann man das obige Ergebniss auch 

 so aussprechen: 



II. Unter den Complexen 



5 = VA0 + %SBQ + %SCQ +■■■ , 



worin die (I nippe § nach dem Doppelmodul T» . zerfällt^ giebt es einen 



und nur einen , der aus prj verschiedenen Elementen besteht. 



Der Complex 93.AQ besteht aus — verschiedenen Elementen. 



L a 



wenn a die Ordnung des grössten gemeinsamen Theilers der beiden 

 Gruppen A^tyA und ist. Von den Zahlen a, b, c, ••• ist also eine 

 und nur eine gleich 1. Ist dies a. so ist AQA' 1 = D' eine mit T* 

 assocürte Gruppe, und P~ l £l'P die allgemeinste. 



Von der Bedeutung der in der Charakteristik (4.), §4 auftretenden 

 Zahlen giebt das Schema p eine besonders anschauliche Vorstellung. 

 Der Rang r der Zerlegung U) oder (/3) ist die Anzahl der in der Dia- 

 gonale stehenden Symbole a llt a 22 , ••• a„. Rechts von der Diagonale 

 stehen in der ersten Zeile a, Symbole, in der zweiten a. 2 ,---. in der 

 r'"" a rl in den folgenden Zeilen keine. Links von der Diagonale stehen 

 in der ersten Spalte b l Symbole, in der zweiten b i} --- in der r h " b r , 

 in den folgenden Spalten keine. Die Gesammtanzahl der ausserhalb 

 der Diagonale stehenden Symbole ist (fiym. § 4, (7.)) 



n — r = Oi + a 2 + ■ ■ • + a, + b x + i 2 + ■ • • + b r . 

 Ist 



K Xn.a« ••• a I 



so ist (Sijm. i 6. (6.)) 



/«l "■ ■•Ol 



= 4wt,...t, 



