Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 349 

 Ans der Gleichung Xc x iCg c £ ergiebt sich weiter 



(2.) j = Xp{QQ') (QP P'Q-). 



Die Summe erstreckt sieh nur über die Elemente /,'. für die gleich- 

 zeitig R =P'Q' und R~ l =P" 1 Q- 1 , also QP = P'Q' ist. So gelangt 

 man zu den folgenden Sätzen, die wohl einige der merkwürdigsten 

 Eigenschaften der symmetrischen Gruppe und ihrer Charaktere ent- 

 halten : 



I. Sind P und P' veränderliche Elemente der Gruppe T* . und Q und 

 Q' solche' der assoeiirten Gruppe 0., so hat die Gleichung PQ = Q' P' 

 »/ehr Lösuntjen, worin QQ' gerade ist. als Lösungen, worin QQ' un- 

 gerade ist. Der Uberschuss ist gleich -j. 



II. Ist P ein veränderliches Element der Gruppe ^ und R ein ver- 

 änderliches Element der c'"' Classe, so ist — ^ gleich der Differenz zwischen 



der Anzahl der geraden und der Anzahl der ungeraden unter den Sub- 

 stitutionen PR (oder RP). die der zu %± assoeiirten Gruppe angehören. 



III. Sei ^{R) = 0, wenn R dem Complexe $PQ nicht angehört. Ist 

 aber R = PQ, so sei £(R) = +1 oder — 1, je nachdem die Substitution 



Q gerade oder ungerade ist. Dann ist j-£,{R) eine für die symmetrische 



Gruppe charakteristische primitive Einheit . die den Charakter yjA'i be- 

 stimmt. Ist $5 = %\ .. so ist % = % w . 



Da j-^(R) eine den Charakter yJR) bestimmende Einheit ist, so 



ist nach Satz III, § i 



4c(fi) = ^ U^)x(SR) = i UP' l Q- l MQPR) 



J S l'.q 



und mithin (vergl. D. II, § 5 (10.)) 

 (3-) ! U(R) = X^(Q) X (PRQ)- 



Die Eigenschaften der in Satz III definirten Function £(R) hat 

 Hr. A.Young untersucht in zwei sehr beachtenswerthen Arbeiten On 

 Quantitative Substitutional Analysis, Proceedings ofthe London Math. Soc, 

 vol. 33 und 34, im Folgenden Y.\ und Y. II citirt. Aber die Bezie- 

 hung der Function £(R) zu dem Charakter yJR) und der ihm ent- 

 sprechenden primitiven Darstellung der symmetrischen Gruppe hat er 

 nicht erkannt, und erst durch diese erhalten seine Arbeiten ihre rechte 

 Bedeutung, da sonst die in seinen Formeln auftretenden Zahlencoeffi- 

 eienten meist unbestimmt bleiben. Nur die Zahl, welche ich mit / 



