350 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. März 1903. 



bezeichne und den Grad des Charakters % nenne, hat er (F. II, 5) 

 wirklich berechnet. Aber nach dieser überaus complicirten Rechnung 

 zu schliessen dürfte die Berechnung aller Werthe des Charakters % 

 auf dem eingeschlagenen Wege recht mühsam sein (vergl. § 12). 



Hr. A.Young bedient sich der nicht commutativen hypercomplexen 

 Zahlen p k , die ich D.I. § 6 eingeführt habe, deren Multiplications- 

 gesetz e R e s = e RS lautet, und schreibt für e R einfach R, so dass z. B. 

 die Gleichung (1.) § 1 



{%x R R) {%y R R) = Xz R R 

 lautet. Der von ihm mit 2'«,,„., , ■■• bezeichnete Ausdruck ist gleich 

 ■(-) 2 yJ a) (R)R, die mit A~^ bezeichnete Zahl ^ . 



Ich leite hier seine Resultate noch einmal her, und erreiche eine 

 erhebliche Vereinfachung namentlich dadurch, dass ich den Satz des 

 § 7, welcher der gedankliche Ausdruck des ganzen in § 9 und § 1 1 

 aufgestellten Systems von Formeln ist, an den Anfang der Entwick- 

 lung stelle, während ihn Hr. A.Young erst am Ende vollständig aus- 

 spricht (F. II, 15). Von geringerer Bedeutung ist, dass ich mir den 

 Gebrauch der hypercomplexen Grössen versage, weil diese, so bequem 

 sie auch mitunter sind, doch nicht immer dazu beitragen, die Dar- 

 stellung durchsichtiger zu gestalten. 



Nachdem so die Charaktere der symmetrischen Gruppe .V) unab- 

 hängig von allen früheren Ergebnissen auf's Neue bestimmt sind, ohne 

 die Resultate der §§ 4 und 5 zu benutzen, beweise ich ihre Überein- 

 stimmung mit den von mir auf einem anderen Wege vollständig be- 

 rechneten Charakteren von £>> wonach auch die oben erwähnte Be- 

 rechnung von / (F. II, 5) unnöthig wird, und zeige endlich in § 10. 



dass • £,{R) für .\S eine Einheit ist. Die ihr entsprechende hyper- 



complexe Grösse 2 i{R)R bezeichnet Hr. A.Young mit G l ••• Gi,T[ •■■T[ 

 oder einfacher mit PN. Was er ATP und ATN nennt, sind die in 



§ 11 mit ■-.- ~r{R)R und • ~ yi(R)R bezeichneten Einheiten. 



§9- 



I. Seien s }3 und zwei associirte Gruppen der Ordnungen 



p = a.^. a 2 !-- ; a B ! , q = ß L ! ß 2 ! ••• ß,! , 



sei P ein variabeles Element von %\ und Q ein solches von 0. 



Aus der in Satz III, § 8 ausgesprochenen Definition der Function 

 <${R) ergiebt sich 



(1.) z(PR) = m , ■c(RQ) = UR)W)- 



