Frobenu's: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. ^!")1 



Ferner ist, wenn A und B beliebige Substitutionen sind (F. II, i 1 \, 



(2.) XK(APB) = ZZ(AP)UB), Xt(Q)UAQB) % Z(A)UQ)ttQB), 



Denn gehört B = P^Q «lern Complexe SpO an. so ist die erste Gleichung 

 eine Folge von (i.), weil PP l zugleich mit P die Gruppe T» T»/' 

 durchläuft. Ist dies aber nicht der Fall. sc. ist <(/>') = <» und ebenso 

 verschwindet die Summe links. Denn die Gruppe J5~ is p/i = s }3' hat 

 dann mit eine Transposition Q gemeinsam, für die £(Q) = -1 ist. 

 Durchläuft also P' die Gruppe ^' = %^'Q, so ist nach (i.) 



5 Z(ABP') = X K{ABP'Q) = i t(ABI" ):(<)) = -X ■Q(ABP') = 0, 

 p' 



oder wenn man P' = B~ l PB setzt, X t^(APB) = 0. In derselben Weise 



p 



erhält man die zweite Gleichung (2.), oder noch einfacher durch Ver- 

 tauschung von f* und Q, wobei die Function £(R) durch 



(3-) ?(B) = ?{R)Z(R-i) 



zu ersetzen ist. Von zwei Formeln, die so aus einander erbalten 

 werden , beweise ich auch im Folgenden immer nur die eine. 



II. Nun sei .VS die symmetrische Gruppe s }3 oder der grösseren 

 Allgemeinheit halber eine Untergruppe, von ^3 , die durch *p oder 

 durch theilbar ist, sei h ihre Ordnung, und seien R, S, T Elemente 

 von . l ö, aber A und B beliebige Elemente von s p . Je nachdem § 

 durch %\ oder durch Ö theilbar ist, ist dann 



XZ(R- 1 ARB) = ZUR- 1 AR)£{B) (©>$). 



i4-) XZ(AS- l BS) = XUA)Z.{S- l BS) (ß>0). 



Denn ist .'ö>' i p, also £> = Ö-P) s0 bleibt die erste Summe un- 

 geändert, wenn man R durch RP ersetzt. Summirt man dann nach 

 P, so erhält man nach (1.) und (2.) 



P XK{R~ l ARB) = X ^{R-'ARPB) = i ^{R- l ARP)^{B) =p X l{R-*AR)l{B) . 



R P,R 



Die letzte Umformung erhält man, indem man R wieder durch RP' 1 

 ersetzt. 



III. Ferner ist, falls §>^ ist > nacn (4) 



X = X CiRSR-'S- 1 ) = X ^(RSR-^KiS- 1 ). 

 s,s 



Ersetzt man S durch «SP und summirt dann nach P, so erhält man 

 nach (1.) und (2.) 



P x= x t(RSPR- 1 )t;(s- l ) = xuRSP)Z(R- l )Z(S- 1 ), 



P,R,S 



und wenn man jetzt wieder S durch SP~* ersetzt, 



