Fkobenids: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 353 



IV. Setzt man also 



(7.) SC(S-»ÄS) fX(R), 



demnach x>(2?) =/, so ist 



(8.) 2 X (Ä-'K(B) = A. 



Die Function %(22) bleibl ungeändert, wenn S durch ein in iö con- 

 jugirtes Element S 'h'S ersetzl wird, oder es ist 



(9-) X(BÄ) = X(SH) ■ 



Ferner ist, wenn .1 und /^ Elemente von fö sind. 



7 ! i y[AS'HS) = 2 C(-R ' '> l BSR) = 2 ^{li-'ARS-'BS) 

 (indem man S durch SR~ l ersetzt), und folglich nach (4.) und (7.) 



(10.) ix(-i^)=J x(-i)x(ß). 



Endlich ist. wenn §>?P ist, 



'[ 2 X (l') = 2 f(S->l«) = 2 C(S-»PK(£) =j> 2 S(S l K(S) 



(indem man <S durch PS ersetzt), also 



(11.) 2 X (H=/ J (g «P), 



p 



und ebenso 



(12.1 i ^(Q)x(Q) = y (* : Cl ' 



Nach Z>. I, § 1 folgt aus (9.) und (10.), dass %{R) einem Charakter 

 der Gruppe V> proportional ist, und aus (8.), dass der Proportionali- 

 tätsfactor gleich ±1 ist. Nach (3.), § 3 ist ±yjP) (oder 2S(Q)%(Q)) 

 positiv oder negativ, je nachdem % oder -% ein Charakter ist. Aus 

 (11.) oder (12.) ergiebt sieh also endlich, dass %(R) ein Charakter 

 von .vS ist. Demnach ist %(E) ==/ eine ganze positive in h enthal- 

 tene Zahl. 



Die Formel (6.) ist in der Formel 



h 



(I3-) «PaX f 



(Über Gruppencharaktere, §4, (1 1.) und (13.)) enthalten: denn j ist 



die Anzahl der Lösungen der Gleichung .4SÄ = SS, worin 1 ein be- 

 stimmtes Element der a"" Classe, R und S veränderliche Kiemente von 



6 sind. 



