854 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 26. Mär/. 1903. 



Jetzt sei >ö die symmetrische Gruppe des Grades n. Jeder der 

 Je Gruppen %\ entspricht dann eine Function ^"'{R) und ein Charakter 

 '/J K, (-ß) : die erstere hängt aber auch davon ab, welche der eonjugirten 

 Gruppen S'^S für ?P„ gewählt wird. Ordnet man die Je Gruppen $„ 

 wie in §4, so ist, wenn x < Ä ist. 



(xi,X 2 ,X3,---)>(X,i,X 2 ,X3,---). 



Dann hat s }3„ mit der zu SP* assoeiirten Gruppe O x einen Theiler, also 

 eine Transposition gemeinsam. Denn sei p x (q x ) das der Gruppe 

 %\ (Ü x ) entsprechende Schema (§ 7). Dann enthält q,, \ Zeilen, und 

 die erste Zeile von p„ sc, Symbole. Ist also A 1 <y. 1 , so muss min- 

 destens eine jener A x Zeilen zwei dieser x 1 Symbole enthalten, und 

 daher haben ^3„ und Q, eine Substitution gemeinsam. Ist jc, =~ A u und 

 enthält keine der A, Zeilen von q, zwei der x, Symbole, so enthält 

 jede genau eins derselben. Dies stelle man an den Anfang jeder 

 Zeile, da Q x ungeändert bleibt, wenn man in jeder Zeile von q x die 

 Symbole beliebig umstellt. Dann streiche man in p„ die v. x Symbole 

 der ersten Zeile, in q x dieselben Symbole, also die \ Symbole der 

 ersten Spalte. Dann ist 



\y.-i.y-z- •••)> (*•*>**> •••). 

 und das neue Schema p' x steht zu dem neuen q,' in derselben Be- 

 ziehung, wie vorher p x zu q,. Daher gelten dieselben Schlüsse, und 

 $P„ und 0* haben eine Transposition T gemeinsam (F. I. 15. p.i35). 

 Ist also P x ein variabeles Element der Gruppe *p„ = %\ T. so ist 

 nach (1.), § 7, weil T auch der Gruppe 0,. angehört, 



2 ^(P x ) = i £W(P«T) = S EW(P„)5W(r) = -X Z M (P*), 



und mithin 



(1.) SCW(P-) = o (x<x). 



Die Eintheilung p x kann für die Gruppe %\ H ganz beliebig gewählt 

 werden. Demnach kann %\ x durch S' 1<! !ß x S ersetzt werden, also in der 

 Summe P x durch S~ l P x S. Summirt man dann nach S, so erhält man 



(x<X). 



von Null verschieden. Demnach sind die k Charaktere y} K) {K) alle 

 von einander verschieden, und damit sind die 1c Charaktere von £> "i 

 einer von der früheren Herleitung völlig unabhängigen Art bestimmt. 



