Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. 355 



Vergleicht man aber das erhaltene Resultat mit dem früheren , so 



erkennt man, dass y} M (h') der Charakter ist, der auch in § 4 die 

 Ordnungsnummer A erhalten hat. Demi setzl man in der Formel (2.) 

 fiir x der Reihe nach 0,1,2--, so ist x = A der kleinste Werth. 

 für welchen die linke Seite von Null verschieden ist. Nach (12.), i \ 

 .steht der dort mit yJ^{R) bezeichnete Charakter zu den Gruppen 

 Vo, Vi> V2, ■■■ i" derselben Beziehung. Sind (*') und (A') die zu (x) 

 und (A) assoeiirten Zerlegungen, so haben ?ß x , = 0* und 0„. ^\ eine 

 Transposition gemeinsam, und daraus ergiebt sich, wie oben, 



i X(-)(P X .) = (*<X) 



oder nach der in (10.), §4 eingerührten Bezeichnung r xV = 0. Dem- 

 nach ist 



(4.) r KX =0 (x'>V). 



§ IL 

 Ich kehre nun zu den Bezeichnungen und Voraussetzungen des 

 J59 zurück, und will zeigen, dass - g(R) eine für die Gruppe £3 cha- 

 rakteristische primitive Einheit ist, dass also (Y. II, 5) 



(I.) X Z(B)S{S) = jK(T) (RS=T) 



ist. Sie bestimmt nach (7.), $9 den Charakter %{R). Ist § T*. so 

 kann man in der Summe 



X = XUR)Z{R- l T) 



K 



II durch P 'R ersetzen. Summirt man dann nach P, so erhält man 

 nach (1.) und (2.), §9 



P X = X Z(B)S{B-*PT) = ^ ^(A')s(/?- l P):('/') = p ^ Z(B)S(R-i)Z(T) 



p, « /•. /.' u 



(indem man wieder R durch PA' ersetzt), also nach (5.), § 9 



X = jZ(T). 



Dieselbe Formel erhält man. wenn £>Q ist, aus (3.), § 9. oder in- 

 dem man X = X ^{TS~ l )^(S) setzt. 

 s 

 Die Formel (4.), § 3 liefert noch zwei andere den Charakter %[R) 



f f 



bestimmende Einheiten j £(P) und • ■ v\(R), deren Beziehungen zu 



j ^{R) ich entwickeln will. Setzt man, falls Vi > <p ist, 



p$(R) = X %(RP) , 



p 



Sitzungsberichte 1903. 3o 



