856 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 26. März 1903. 

 so ist nach (2.), § 9 und (1.) 



*± %{R) = i Z{S-*RPS) = 2 ■aS)K(S- l BP) = ^X £(£P) , 



J P.S P,S J P 



und mithin (1 . II, 7) 



(2.) PUR) = ^ X(ÄP) = 2 C(ÄP) (6>W- 



Ebenso ist 



(3.) «n(Ä)= 2 >(Q)x(Q«) = 5 ?(QK(QP) = 2 ^Q-'ÄQ) (S>Q). 



J Q <2 Q 



Daher ist p £{R) = 2 S-(Q), die Summe erstreckt über alle Lösungen 

 der Gleichung Q = P'RP. Ist r die Ordnung des grössten gemein- 

 samen Th eilers der beiden Gruppen R'^R und ^3, so enthält der 



Complex tyRty — verschiedene Elemente und stellt jedes r Mal dar. 



Daher ist 



(4.) ^5(Ä) = 2>«2) (Q< ?**>), 



die Summe erstreckt über die verschiedenen Elemente Q der Gruppe Q, 

 die dem Complexe ^R^S angehören. Auch aus der ursprünglichen 

 Definition von £{R) ist ersichtlich, dass diese Function für alle Ele- 

 mente des Complexes ^R%^ denselben Werth hat. 



Ebenso ist, wenn der grösste gemeinsame Theiler von R^QR 

 und ü die Ordnung r hat, 



(5.) £ ij(fi) = fr (5) 2 fr(P) (P<OfiO). 



§ ! 2 - 



Die Berechnung von % mittels der Formel (1.), § S wird durch 

 folgende Bemerkung vereinfacht: Ist PR = Q, so kann ein Symbol b, 

 das in der Substitution R ungeändert bleibt, weder von P noch von 

 Q ersetzt werden. Denn wenn etwa P ' das Symbol b in a über- 

 führt, so ersetzt sowohl PR wie P a durch 6. Daher stehen a und 6 

 in derselben Zeile der Tabelle p, also in verschiedenen Zeilen von q, 

 demnach kann Q nicht a in & überführen, und nicht PP = Q sein. 



Ist also (p) = (2) die Classe der A 2 = ±n(n-l) Transpositionen 

 der symmetrischen Gruppe .V), so hat für eine bestimmte Transposition 

 R die Gleichung PQ -= R nur die beiden Lösungen P = R, Q = E 

 und P = E, Q = R. Im ersten Falle ist S-(Q) = +1, im zweiten 



S-(Q) = -1. Folglich ist -^ gleich der Differenz der Anzahlen der 



Transpositionen in ^3 und in 0. 



Von den Zahlen jS^/S,, •••/3„ sind ^-^ gleich 1, <* 2 -ä 3 gleich 2 

 u.s.w. Ist also P(.r) eine beliebige Function, so ist 



