Frobenius: Die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. '->'u 

 F(ßi) + F(ß a ) + ■■■+ F(ß„) = (tt, - a 2 ) F(l) + («, - a,) F( 2 ) + • • - + l a„_ 1 - tt „) F( M - 1) -| 



oder 



- F(ß) = ai F(l) + a 2 (F(2)-F(l)) i «,(F(3) F(2)) | ■ • • -| - «„ (/•'( , ) - F(p 1)) 

 = X*,(F{p)-F(p-l)) + a l F{0). 



Demnach ist 



,2.) ^ = 2 U(a-i)-2 J-ßO-l) = S (p-l)(ß f -«e) 



oder 



(3-) ^-=2>(a-l)-2(p-l) V 



Die letzte Formel findet sich in einem anderen Zusammenhang 

 schon bei Hrn. A. Hurwitz. Über Riemann' 'sehe Flächen mit gegebenen 

 Verzweigungspunkten, Math. Ann. Bd. 39. Ihre Bedeutung tritt in der 

 Gestalt (2.) deutlicher zu Tage. 



Unter den Zahlen «, — 1, es 2 — 2 , ••• &„ — jjl seien a x , ■■ • a r die positiven 

 (^0), und-(6i + l), ■■• -(6^_ f + 1) die negativen (<0), unter den Zahlen 



/3,-l ,/3„-2, ■• -ß„—v seien b l} ■■ ■ b r die positiven, und -(a[ + \), («,'_, . + 1) 



die negativen. Dann sind die Zahlen b und b' zusammen die u Zahlen 

 0,1, ■•• fJt.—l, und die Zahlen a und a zusammen die Zahlen 0, 1, ■•• v — 1. 

 Bewegt sich also p von l bis fx, so ist 



% l(a e -p)(a e -p + i) = 2 ;«(rt + i) + i : &'(6' + i) 



2 yp(p-l) = 2 \b{b + l) + X lb'(b' + \), 



also 



X la e (a e + l)-5 P« ; = 2 ; «(«+ l)-2 ! /<■/< + 1). 

 und folglich 



Benutzt man endlich die Charakteristik: (3.). § 3, so ergiebt sich 



(5.) -^p=X ;-(X-m)(X-m + l)- ;, m{m?-l). 



In meiner Arbeit ü&er Gruppencharaktere, Sitzungsberichte 1S96, 

 habe ich §4, (2.) gezeigt: Durchlaufen A, B , C, D, •■• die ('lassen 

 a, ß, y, £, ■••, so ist die Anzahl der Lösungen der Gleichung 



(6.) ABCD ■■■ — E, 



gleich 



(7 > /, „ . — ±2 «»)« :A " gXfe > x y ^ rt _ ... . 



w-' «*.%«••• — /( -./ ^. M f . (x) j. {k) -^ 



Ist aber .4 in der Gleichung (6.) ein bestimmtes Element der *"" Classe, 

 so ist diese Zahl durch h„ zu dividiren. Die m ('lassen ß,y,b, ■•• seien 

 alle die Classe der Transpositionen. Die Zahl (3.) werde für x. = % (,) 

 mit t x bezeichnet. Demnach giebt die Zahl 



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