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Über diePrimfactoren der Gruppendeterminante. IL 



Aon G. Frobenius. 



öind P, Q, R, ••■ die Elemente einer Gruppe SS der Ordnung h, so 

 nenne ich die Determinante A ten Grades 



(i.) © = |*^-i | = n*- 



die Determinante der Gruppe £)• D' e k verschiedenen Primfaktoren 

 $ ,$'.■•• . worin sie zerfallt, seien homogene Funktionen der /i Va- 

 riabein x P , Xq , x R , • ■ ■ von den Graden /./'.-•• . Dann besteht das 

 Hauptergebnis meiner Arbeit Über die Primfactoren der Gruppendeter- 

 minante, Sitzungsberichte 1896, in dem Satze, dass der Exponent e 

 der in aufgehenden Potenz von <£ dem Grade / dieser Funktion 

 gleich ist. 



Der Beweis, den ich ciafür in § 9 gegeben habe, erfordert ziem- 

 lich weitläufige Rechnungen und umständliche Betrachtungen. Ich 

 habe daher in § 10 versucht, den Satz auf einem einfacheren Wege 

 herzuleiten, es gelang mir aber nur zu zeigen, dass e durch / teil- 

 bar ist. Zu diesem Ergebnis komme ich mit Hülfe der Determinante 



(2.) |* P Q_i+y Q -ip| = n*7. 



Auch diese enthält, wenn die 2 k Variabein x R ,y R alle von einander 

 unabhängig sind, k verschiedene Primfaktoren *. Dem Primfaktor 

 / ten Grades $(x) von © entspricht ein Primfaktor des Grades f 2 



(3.) *(*,y) = n(«„ + «ß) l 



wo «! . w 2 , •••Uf die /* charakteristischen Wurzeln von <£(.r) (d. h. die 

 Wurzeln der Gleichung $(ue-x) = 0), v 1 , r,, ■■■v r die von *(y) sind. 



Mit Hülfe der antistrophen Gruppe zeigt auch Herr Buhnside, 

 Proc. of the London Math. Soc. vol. 29. p. 553, dass r >/ ist (aber 

 nicht, dass e=/ist, wie dort angegeben ist). 



Ersetzt man x R und y R durch x R + we R und — x R . so erhält man 



(4.) | ffpQ-i - Zq-xp + WEpg-i | = W II ¥■> . 



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Sitzungsberichte 1903. 38 



