Frobenius: Über die Pi der Gruppendeterminante. II. 403 



durch Vertauschung von P und Q das konjugirte Elemenl 



X QP- ~ x p-\q — Xjt-i — Xg-i . 



Je zwei konjugirte Elemente haben also konjugirte komplexe Werte, 

 die Hauptelemente [P - Q) sind reell (Null). Nach einem bekannten 

 Satze sind daher für die betrachteten Werte der // Variabein x E die 

 Elementarteiler der Determinante (4.) § 1 alle linear. Ist sie durch 

 w teilbar, so ist r'>r, und weil die für w = verschwindenden 

 Elementarteiler alle linear sind, so ist der Rang der Matrix (10.) § 1 

 gleich h-r'<h-r. Jede Unterdeterminante F> vom Grade h-r + 1 

 ist daher Null. 



Sind x ../,,..(,.. ■ jetzt wieder unbeschränkt veränderlich, so 

 ist I) eine ganze Funktion dieser // Variabein. Ist 11 von R~ l ver- 

 schieden, so führe man darin für x s + x s -i und i(x s x K -, ) neue Va- 

 riabele ein. Ist aber R 2 = E, so behalte man x R bei. Dann ver- 

 schwindet D. wie eben gezeigt, für alle reellen Werte der neuen 

 Variabein, also auch für alle komplexen Werte der neuen und der 

 ursprünglichen Variabein. 



Weil die Determinante (4.) i 1 den Faktor w in der r u " Potenz 

 enthält, so kann der Rang der Matrix (10.) § 1 nicht <h — r sein. 

 Da die Unterdeterminanten (h-r+l) ten Grades verschwinden, so ist 

 folglich ihr Rane - gleich h-r. 



Für den Beweis des zweiten Satzes brauche ich einige Hülfs- 

 sätze über vertauschbare Matrizen, aus denen sich auch noch ein an- 

 derer Beweis für den ersten Satz ergibt. 



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I. Sind A und B zwei vertauschban Matrizen n'' GradeSj so lassen 

 sich ihn- charakteristischen Wurzeln a 15 a 2 , ••• a„ und b lt b % , ■■• ö„ einander 

 >o zuordnen^ dass f(<i t .h l \.f(a 2 .h.,).-f{a ;i .t>) die charakteristischen 

 Wurzeln der Matrix f(A,B) sind. Diese Zuordnung ist für jede ganze 

 Funktion f{u. v) dieselbe. 



IL Zerfallen du charakteristischen Determinanten der beiden vertausch- 

 baren Matrizen A und B in lauter lineare Elementarteüer, so hat jede 

 Mut rix f( A,B) dieselbe Eigenschaft. 



III. Ist ausserdem bei jener Zuordnung im nur t> :< = li , falls a„ = a, 

 i.-t. so ist B eine ganze Funktion von A. 



Den ersten Satz habe ich in meiner Arbeit Über vertauschban 

 Matrizen, Sitzungsberichte 1896. entwickelt. Einen besonders ein- 

 fachen Beweis dafür hat Hr. Iss.u Schur in der Arbeit über einen Satz 



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