1-1)4 Gesammtsitzung vom 2. April 1903. 



aus der Theorie der vertauschbaren Matrizen, Sitzungsberichte 1902, ge- 

 geben. 



Seien <?, , a„ . ■ ■ ■ a die p verschiedeneu unter den n charakteristi- 

 schen Wurzeln a 1 , a 2 , ■ ■ ■ a„ der Matrix A. Ist dann 

 /(«.) = (n - flj) (m — a 2 ) • • • (m — a f ) , 



so ist f(A) = die reduzirte Gleichung für A, falls die Elementar- 

 teiler von Im-E-J-I alle linear sind. Ich bezeichne zunächst mit b x 

 nicht eine der Wurzel a x zugeordnete Wurzel der Matrix B, sondern 

 mit b lt b s , •••b q die q verschiedenen unter den n Wurzeln &,, b. 2 . • • • b„. 



Is1 dann 



g (u) = (u — b, ) (u — b- 2 ) ■ ■ ■ (u — b q ) ■ 



so ist g{B) = die reduzirte Gleichung für B. Ist -/,(« . v) eine ganze 

 Funktion A r on u und p, so bezeichne ich mit e I5 e 2 , -•• c,. die r ver- 

 schiedenen unter den pq Grössen 



X(a a ,b ß ) (a = l,2,.-.p; ß = l,2,... ? ) 



und setze 



h («) = (w — Ci) (w — c 2 ) • • • (u — c,.) . 



Die Funktion h(%(u,bß)) verschwindet dann für die p verschie- 

 denen Werte a x , a 2 , ■•• a p , und ist mithin durch f[u) teilbar. Ist 

 •J/ß(M) = Z-^/fflu* der Quotient, so sei yp^{v) die ganze Funktion 

 (q-l)"" Grades, die für die q verschiedenen Werte v = b$ die Werte 

 4^' annimmt, und \£/(w,ü) = Xyp w {v)u "'. Dann verschwindet A(%(w,u)) 

 —f(u) 4/{u,v) für f = &! . 5 2 , • • • 6 5 . und ist mithin durch g (v) teilbar. 

 Da der Koeffizient von c'< in g(v) gleich 1 ist. so ist der Quotient 

 cp (v , u) eine ganze Funktion von v und von u. Die Gleichung 



h (x (« . »)) = ./'< " ) ^ < " . '") + 9 ( ü ) <P ('" 1 M ) 

 bleibt eine identische, wenn man für u und v zwei vertauschbare Ma- 

 trizen A und .B setzt. Ist C = %(!, 5). so ist daher h(C) = 0. Ist 

 \p(C) = die reduzirte Gleichung für die Matrix C, so ist daher h(u) 

 durch \J/(m) teilbar. Mithin hat die Gleichung -^(w) = keine mehr- 

 fachen Wurzeln, und folglich hat die charakteristische Determinante 

 von %(A,B) lauter lineare Elementarteiler. 



.letzt bezeichne ich mit b K die der Wurzel a y zugeordnete Wurzel 

 und nehme an, dass stets b K = b^ ist, wenn a x = a x ist. Sei q>(w) die 

 ganze Funktion ( p - 1 ) tel Grades , die für die p verschiedenen Werte 

 a, .</.,••• (/„ die Werte 6, ./),.■■■ b f annimmt, und folglich auch für jeden 

 der n Werte <>., den Wert b K . Dann sind die n charakteristischen Wur- 

 zeln der Matrix C = B-<p{A) gleich b K - 9 (r/J = 0. Folglich ver- 

 schwindet eine Potenz A r on C. Nach dem Satze II sind aber die Ele- 

 mentarteiler von |wis-G'| alle linear. Mithin verschwindet schon die 

 erste Potenz von C. und folglich ist B = y(A). 



