Frobenius: Über die Primfactoren der Gruppendeterminante. II. 405 



§4- 

 Die obigen drei Hülfssätze kann man auch durch Transformation 

 der Matrizen oder der ihnen entsprechenden bilinearen Formen A und 

 B beweisen. Wenn die Elementarteiler von |?/JE'-..'1| alle linear sind. 

 so kann man eine Substitution P so bestimmen, dass 



P~ X A P = n l x 1 // l — a. 2 .r.,i/., --■■■ a n x n y 



wird. Sei etwa a^ = a., = • • ■ = a a+2 = ■ ■ ■ = n :? , « /3+] = a ß+i 



= ••• = a y , ■■■, und seien a a , o.. a ■•• verschieden. Sei 



Ei — a 'i//i + • • • + x a y a > E 2 = x a+l y a+1 + ■■■ + x ß y & , u. s.w. 



Dann ist P~*AP = a a E 1 + a ß E 2 + a y E 3 + ■••. Ist nun B mit A ver- 

 tauschbar, so ist auch P l BP mit P~ l AP vertauschbar. Durch eine 

 leichte Rechnung ergibt sich daraus, dass P~ l BP in Teile B^B^ 

 + B 3 +--- zerfällt, von denen B x nur von den in E K vorkommenden 

 Variabein abhängt. Nun sind aber die Elementarteiler der Determi- 

 nante einer zerfallenden Matrix die ihrer einzelnen Teile zusammen- 

 genommen. Daher sind die Elementarteiler der Determinante o? 31 Grades 

 | uE 1 - ßj | alle linear. Folglich kann man eine Matrix a.'' }[ Grades Q, 

 von nicht verschwindender Determinante oder eine bilineare Form 

 Q, der in E x vorkommenden Variabein so bestimmen, dass Q7 1 B l Q 1 

 = b 1 x 1 y 1 + ■■■ + b a x a y„ wird, ebenso eine Form Q„ so. dass Q.7'i? 2 Q 2 

 = b„ +l x a+1 y a+l + ■■■ +bßX ß yß wird. u. s. w. Setzt man dann Q t + Q., 

 + Q 3+ ... = Q : und PQ = R, so ist R- 1 AR = Q- 1 {P- 1 AP)Q = P M>. 

 also 



R~*AB = a x Xiyi + cio.v 2 >h + • ■ • + '«„•<■„//, ■ 

 und 



B^BB = h .!-,(/, + ^.i\//, + ■■ ■ + b„x„y„ ■ 



Ist dann f(u,v) eine ganze Funktion von v und v, so ist 



R-\f(A .B)B = /(o, , b, ) x x y, +/(o, . b,)x,y, + ■■■ +/(«„ , b„ ) x„y„ . 



Mithin sind /(«! ./>,).•••/'(«,,. i,) die charakteristischen Wurzeln der 

 Matrix f(A, B), und die Elementarteiler von \uE-f(A,B)\ sind alle 

 linear. 



Sind endlich die Bedingungen des Satzes III. erfüllt, so kann man 

 wie oben y(u) so bestimmen, dass für k = 1, 2, ••• , n b H = cp(a„) ge- 

 setzt wird. Dann ist 



R- l y{A)R — epf«,)^,;;/! + <p(a 3 )x 2 y- 2 + ■■■ + y{a„)x„y„ = R^BB , 

 also B = q>(A). 



Ich habe in meiner Arbeit Über lineart Substitutionen und bilineare 

 Formen, Crelle's Journal Bd. 84. S. 25 gezeigt: Ist B — f(A) und 

 b = fia), und ist (r-a) a ein Elementarteiler von \rE-A\, so ist. wenn 



